Ajuda sobre limites

por **MJC** » Ter Mai 06, 2008 12:41

Sou aluno de administração e estou cursando a disciplina de métodos determinísticos. Infelizmente, tenho muita dificuldade com as questões que envolvem limites e freqüentemente deparo-me com indeterminações. Gostaria que, se fosse possível, algum participante do fórum me auxiliasse em alguma questões.

1) lim f(x), quando f(x)={2x+3, se x<1; 14, se x=1; 7-2x, se x>1}
x -> 1

2) lim x³-2x+20
x-> $\infty$ ______________________
x^5

+ 6x³ +9

Espero que tenha ficado claro a segunda questão, pois não tenho prática em utilizar LaTex via BBCode e por isso acabou saindo uma fórmula meio truncada, mas seria na realidade x quando se aproxima do infinito e no 1°termo do denominador x elevada a quinta potência. Desde já agradeço a tenção dispensada

por **admin** » Ter Mai 06, 2008 15:10

Olá, seja bem-vindo!
Favor conferir se as questões estão como você pretendia escrever.

$f(x)= \left\{ \begin{matrix} 2x+3 & se & x<1 \\ 14 & se & x=1 \\ 7-2x & se & x>1 \end{matrix} \right.$

Neste caso, é importante fazer o gráfico para visualizar a idéia, veja:

Para que exista o limite da função

, os limites laterais devem ser iguais.
Aqui, tendendo pela esquerda:
$\lim_{x \rightarrow 1^-} 2x+3 = 5$

Tendendo pela direita:
$\lim_{x \rightarrow 1^+} 7-2x = 5$

Note que o limite de

é igual a 5, com x tendendo a 1.
O que não significa que a função

assuma o valor 5 quando x=1

, tanto é que f(1)=14

.

Neste outro prolema,
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^3-2x+20}{x^5+6x^3+9}$

Dividindo o numerador e denominador por x^3

, temos:
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x^3-2x+20}{x^3}}{\frac{x^5+6x^3+9}{x^3}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{2}{x^2}+\frac{20}{x^3}}{x^2+6+\frac{9}{x^3}}$

Como agora não há uma indeterminação, aplique as propriedades de limites:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{2}{x^2}+\frac{20}{x^3}}{x^2+6+\frac{9}{x^3}} = \frac{\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1-\frac{2}{x^2}+\frac{20}{x^3}\right)}{\lim_{x \rightarrow \infty} \left( x^2+6+\frac{9}{x^3} \right)} = \cdots = \frac{1 - 0 + 0}{\infty + 6 + 0} = \frac{1}{\infty} = 0$

Espero ter ajudado.
Bons estudos!

por **MJC** » Ter Mai 06, 2008 15:58

Fico Muito agradecido pela ajuda. Poderia recomendar-me algum livro sobre a matéria que venha acompanhado de questões resolvidas?

por **admin** » Ter Mai 06, 2008 16:08

Olá.
Recomendo não só o primeiro livro de nossa bibliografia (Stewart), mas qualquer outro livro de cálculo I, por exemplo, o volume 1 do Guidorizzi.

Além da leitura deste tópico com informações sobre o e-cálculo, com teoria, exemplos e exercícios: viewtopic.php?f=120&t=115#p186

por **MJC** » Ter Mai 06, 2008 17:28

Caro Fábio, desculpe-me pelo abuso, mas existe outro tópico relacionado que me funde a cabeça. Assíntotas. Primeiro, gostaria de entender onde posso usar estes conceitos em administração? Se puderes me ajudar ficaria feliz, pois não consigo visualizar qualquer utilidade.
Duas questões que me apresentaram no curso: Determinar assíntotas verticais e horizontais, caso existam, das funções:
1) f(x)= 3/(x-2)²

2)g(x)= 2x-6/x+1

por **admin** » Ter Mai 06, 2008 19:05

Olá.
Sobre as aplicações em administração, não sou habilitado para dizer, mas vale comentar que o estudo da matemática em si não se restringe às aplicações. De qualquer forma, posso citar curvas de demanda como exemplo, onde se faz uso de integrais. E ao falar de cálculo: limites e assíntotas são exemplos de pré-requisitos! Mesmo que por ora você não encontre aplicações relacionadas às assíntotas, certamente encontrará para derivadas e integrais.

Para seu estudo de assíntotas, pense inicialmene em uma hipérbole, por exemplo a função $y=\frac{1}{x}$ .

Há uma assíntota vertical e outra horizontal.

Quanto x tende a zero, o valores de y ficam arbitrariamente grandes (em módulo).
A reta x=0

é a assíntota vertical que nunca e tocada pela hipérbole.

Por outro lado, quanto tornamos x arbitrariamente grande (em módulo), notamos que o valor da função tende a zero, os valores de y ficam arbitrariamente pequenos (em módulo).
A reta y=0

é a assíntota horizontal que também nunca é tocada pela hipérbole.

Considero que este seja o exemplo mais didático para extrair este entendimento. Pense com o gráfico.

Para descobrir as assíntotas, você precisará utilizar limites.
Em geral, a assíntota vertical é determinada por alguma restrição no denominador por ser zero.
A assíntota horizontal obtemos analisando o limite da função quando $x \rightarrow \infty$ .
Veja, no segundo exercício que você enviou, vimos que o limite da função quando $x \rightarrow \infty$ é zero (o limite é 0).
Ou seja, a reta y=0

é a assíntota horizontal.

Sugiro ler a teoria no livro do Stewart sobre limites no infinito, assíntotas horizontais e verticais.
Se necessário, comente após suas tentativas.
Espero ter ajudado e bons estudos!

por **admin** » Ter Mai 06, 2008 21:06

Olá.
Sugestões para os exercícios de determinação das assíntotas:

1) $f(x) = \frac{3}{(x-2)^2}$
Pense na assíntota vertical como um valor da abscissa (eixo x) onde a função não está definida.
Neste caso, localize o problema do denominador (não pode ser zero).
Pergunte-se: qual valor de x anularia o denominador?
A assíntota vertical é a reta sobre este valor, perpendicular ao eixo x.

Para a assíntota horizontal, calcule:
$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3}{(x-2)^2}$

2) $g(x)= 2x-\frac{6}{x}+1$
Analogamente neste caso.
Para a assíntota vertical, pergunte-se: qual denominador tem restrição? Em qual valor de x?

Para a assíntota horizontal, calcule o limite:
$\lim_{x \rightarrow \infty} g(x)= \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 2x-\frac{6}{x}+1 \right)$

Neste caso, $\lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = \infty$ , o que indica não existir assíntota horizontal (pense no gráfico).
O mesmo vale para $\lim_{x \rightarrow -\infty} g(x) = -\infty$ .

Em palavras, esta idéia pode ser dita assim: quando aumentamos x arbitrariamente, em módulo, a função g também cresce arbitrariamente (em módulo), ou seja, sem limitações como aconteceria se houvesse assíntota horizontal.

Acho que a partir daqui você já deve perceber que as assíntotas estão associadas com as limitações das funções consideradas. Talvez esta idéia facilite suas reflexões sobre aplicações em sua área.

Aguardo sua interação. Até mais!

por **MJC** » Qua Mai 07, 2008 00:19

Um colega de curso está estudando pelo seguinte título: Matemática para Administração, autor: Hamilton Luiz Guidorizzi, como o sobrenome é o mesmo do que você citou, talvez você tenha referências sobre a obra.Percebo que ele está muito mais afeito a matéria do que eu, o que também não é lá grande coisa, pois estou com sérias dificuldades. Sendo mais claro, Estudo em Universidade Federal do RJ que adota uma literatura própria, organizada pelos professores,com uma abordagem de conhecimento mais avançada do que possuo. Neste bimestre iniciamos com funçoes exponenciais e logarítmicas, depois passamos a noção intutiva de limite, limites de funções e suas propriedades, limites laterais, limites envolvendo infinito e em algum momento eu perdi o fio da meada, algo como se eu tivesse perdido alguma aula, algo que não aconteceu. Começo a perceber que necessitarei de um esforço imenso para compreender a matéria. Fico agradecido a você, pois sua explicações tem me valido mais do que 100 páginas de livro. Recomendo inclusive que pense sériamente em desenvolver seu lado editorial, pois nesta área sempre encontramos vazios didáticos em diversas obras. De quaquer modo, continuarei frequentando o site, pois muito tem me servido para a rotina de estudos. Abraço.

por **admin** » Qua Mai 07, 2008 00:58

Olá, boa noite.
O autor é sim o mesmo, mas eu não tenho e ainda não conheço este volume para administração.
Considerando a boa qualidade das obras em cálculo, mesmo sem conhecer, acredito que seria bem interessante para seu caso.

Em meu curso também tive sérias dificuldades, considerando o nível cobrado. Acho que a grande vantagem deste fato comum a nós e certamente a muitos outros alunos de universidades públicas, é que aperfeiçoamos o modo de aprender, mais independente de professores ou métodos. Ficamos mais íntimos dos livros. Este esforço que você comentou será sempre necessário, pois apenas nós somos responsáveis pelo entendimento.

Ressalto que suas próximas dúvidas sempre serão bem-vindas, especialmente acompanhadas de curiosidades, idéias e tentativas.
Não tenho formação nem condições para lecionar cálculo, apenas gosto do assunto.
Desejo sucesso!
Até mais.