Aplicações de Derivada - Problemas de Otimização - Socorro!!

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Aplicações de Derivada - Problemas de Otimização - Socorro!!

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Aplicações de Derivada - Problemas de Otimização - Socorro!!

Mensagempor Josi » Ter Nov 03, 2009 17:30

Tenho um trabalho com a questão abaixo:

* Um fio de 12 cm pode ser curvado formando um círculo, dobrado formando um quadrado ou cortado em duas partes fazendo um círculo e um quadrado. Quanto do fio deve ser usado para o círculo para que a área total englobada pela(s) figura(s) seja:
a) máxima?
b) mínima?

Já tentei resolver de várias formas, mas os resultados estão sem lógica, como área negativa, comprimento maior que 12, entre outros... Não sou muito boa com fórmulas geométricas, então se alguém puder me ajudar fico muito grata...
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Re: Aplicações de Derivada - Problemas de Otimização - Socorro!!

Mensagempor marciommuniz » Ter Nov 03, 2009 22:30

Olá, procure sobre Máximos e Mínimos de funções.
Basta aplicar primeira e segunda derivada. Deixe aqui seus cálculos, se tiver ainda dúvidas, reposte.
Lembrando que a área do círculo é \pi*r^2
"Nunca penso no futuro, ele chega rápido demais." Albert Einsten
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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