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[Geometria Euclidiana Plana] retas paralelas?

[Geometria Euclidiana Plana] retas paralelas?

Mensagempor Luiz Augusto Prado » Ter Mar 13, 2012 14:41

Dúvidas sobre Geometria Euclidiana Plana

No início tinha me auto-sugerido um método para estudo da Geometria Euclidiana Plana: Fazendo-me de ignorante e cego para ir construindo o conhecimento, com base nos axiomas. Mas não estou tendo sucesso e gostaria de comentar as dúvidas que estou tendo, pois começo a achar que preciso de um método melhor para ir construindo este conhecimento.

1ª dúvida: Proposição 1.1 – duas retas distintas não se interceptam ou se interceptam em um único ponto.
Vou tentar exemplificar essa dúvida fazendo uma comparação com outra geometria não euclidiana para depois voltar a ser cego e ignorante.

Na geometria G, por exemplo, não há nenhuma reta paralela.
Para que essa geometria seja diferenciada da geometria euclidiana, deve existir uma, ou algumas séries de axiomas, que vou chamar de P, de forma que seja P na geometria G, e ~P na geometria Euclidiana.
Suponto que os 2 primeiros axiomas da geometria G sejam os mesmos da geometria euclidiana, se fizessemos a proposição 1.1 na geometria G, obteriamos uma verdade. E isso é absurdo pois na geometria G não existem retas paralelas. Ou seja, falta o axioma P para que possamos ver que a proposição é falsa.
Do mesmo modo na proposição 1.1 dentro da Geometria Euclidiana eu precisaria de uma proposição ~P para que eu pudesse provar que existam retas paralelas. Ou seja, os Axiomas I.1 e I.2 não parecem ser suficientes para garantir a existencia de retas paralelas na Geometria Euclidiana Plana.

Estou seguindo o livro do
João Lucas Marques Barbosa
Geometrie Euclidiana Plana

O que acham do livro? Essa duvida surgiu quando li a prova da proposição 1.1
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Re: [Geometria Euclidiana Plana] retas paralelas?

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Mar 17, 2012 16:38

Você não prova que existem retas paralelas, você postula. Na verdade você toma conjuntos de coisas (pontos, retas) e postula comportamentos sobre eles.
Futuro MATEMÁTICO
e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Re: [Geometria Euclidiana Plana] retas paralelas?

Mensagempor Luiz Augusto Prado » Dom Mar 18, 2012 11:12

Estou tentando escrever esses axiomas de forma matemática:

Axioma I.1
Em qualquer que seja a reta existem pontos nela e fora dela.

Axioma I.2
2 pontos distintos quaisquer pertencem a uma única reta.

Isso está correto?


O definido está acentuado no é porque se eu escrevesse "def" dava erro.
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.