[Geometria Euclidiana Plana] retas paralelas?

[Luiz Augusto Prado]

Dúvidas sobre Geometria Euclidiana Plana

No início tinha me auto-sugerido um método para estudo da Geometria Euclidiana Plana: Fazendo-me de ignorante e cego para ir construindo o conhecimento, com base nos axiomas. Mas não estou tendo sucesso e gostaria de comentar as dúvidas que estou tendo, pois começo a achar que preciso de um método melhor para ir construindo este conhecimento.

1ª dúvida: Proposição 1.1 – duas retas distintas não se interceptam ou se interceptam em um único ponto.
Vou tentar exemplificar essa dúvida fazendo uma comparação com outra geometria não euclidiana para depois voltar a ser cego e ignorante.

Na geometria G, por exemplo, não há nenhuma reta paralela.
Para que essa geometria seja diferenciada da geometria euclidiana, deve existir uma, ou algumas séries de axiomas, que vou chamar de P, de forma que seja P na geometria G, e ~P na geometria Euclidiana.
Suponto que os 2 primeiros axiomas da geometria G sejam os mesmos da geometria euclidiana, se fizessemos a proposição 1.1 na geometria G, obteriamos uma verdade. E isso é absurdo pois na geometria G não existem retas paralelas. Ou seja, falta o axioma P para que possamos ver que a proposição é falsa.
Do mesmo modo na proposição 1.1 dentro da Geometria Euclidiana eu precisaria de uma proposição ~P para que eu pudesse provar que existam retas paralelas. Ou seja, os Axiomas I.1 e I.2 não parecem ser suficientes para garantir a existencia de retas paralelas na Geometria Euclidiana Plana.

Estou seguindo o livro do
João Lucas Marques Barbosa
Geometrie Euclidiana Plana

O que acham do livro? Essa duvida surgiu quando li a prova da proposição 1.1

[MarceloFantini]

Você não prova que existem retas paralelas, você postula. Na verdade você toma conjuntos de coisas (pontos, retas) e postula comportamentos sobre eles.

[Luiz Augusto Prado]

Estou tentando escrever esses axiomas de forma matemática:

Axioma I.1
Em qualquer que seja a reta existem pontos nela e fora dela.

Axioma I.2
2 pontos distintos quaisquer pertencem a uma única reta.

Isso está correto?


O definido está acentuado no é porque se eu escrevesse "def" dava erro.