[Geometria plana] questão concurso 2011

por **fernandocez** » Sáb Out 08, 2011 00:25

Mais uma questão do último concurso magistério RJ. Não consegui resolver.

55) A figura abaixo mostra três circulos, cada um com 10cm de raio, tangentes entre si.
Imagem

Considerando raiz de 3 igual a 1,73 e Pi igual a 3,14, o valor da área sombreada, em cm², é:
a) 320 b) 330 c) 340 d) 350 e) 360 resp: 330

Eu fiz a área do círculo e encontrei 314 cm² mas a parte entre os círculos eu não tenho conhecimento prá calcular. Alguém pode me ensinar. Agradeço.

por **Renato_RJ** » Sáb Out 08, 2011 12:57

Grande mestre Fernando, tudo em paz ??

Temos três círculos tangentes entre si, cada um tem um raio de 10 cm, se ligarmos os centro de cada um através do ponto tangente entre eles teremos um triângulo equilátero de lado 20 cm e temos uma parte da figura sombreada dentro do triângulo.

A área do triângulo equilátero é $\frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}$ , então fica igual a $100 \sqrt{3} = 173 cm^2$ segundo os dados dado no problema. Agora temos que tirar a área do setor circular (pois ao subtrair a área de cada setor circular, são 3 no total, da área do triângulo equilátero teremos a área da figura entre os círculos), como sabemos que os ângulos internos de um triângulo equilátero são 60º, logo vamos calcular a área do setor circular usando graus, veja:

$A_c = \frac {\Pi \cdot R^2 \cdot \alpha}{360} = \frac{314}{6} = 52,33 cm ^2$

Agora, multipliquemos esse valor por 3 (pois são três círculos) e subtraímos da área do triângulo, teremos:

$3 \cdot 52,33 = 156,99 cm^2 \Rightarrow 173 - 156,99 = 16,01 cm^2$

Agora, basta somar os 16,01 cm^2 da área sombreada com a área do círculo inferior, que é de 314 cm^2, logo você terá 330,01 cm^2, aproximadamente 330 cm^2.

Espero ter feito tudo certo e ajudado...

Abraços,
Renato.

por **fernandocez** » Sáb Out 08, 2011 15:40

Obrigado Renato mais uma vez pela ajuda. Vou passar pro carderno prá entender melhor. Qualquer dúvida volto a te dar trabalho.

por **fernandocez** » Sex Mar 16, 2012 22:51

Caro Renato, hoje que voltei a estudar. Fiz como vc orientou e aprendi. Preciso estudar muito para passar no concurso do estado no final do ano. Obrigado pela ajuda.