Triângulos

[claudia]

Olá, Fábio
Estou com dúvida em duas questões:
1. O seno dos ângulos iguais de um triângulo isósceles vale 3/5, e o perímetro, 9 m. Calcule o valor de sua área.
Fiz a figura e sei que senB = SenC = 3/5 e que a + b + c = 9 ou a + 2b = 9. já tentei colocar a altura e calcular através do sen = cateto oposto sobre a hipotenusa, mas não estou conseguindo.Também tentei pela fórmula da área:. Tem uma dica?
2. Num triângulo qualquer, A vale 60 graus e é o ângulo formado pelos lados b = ()m e c = 1 m. Calcule o valor do ângulo B, oposto ao lado b.
Fiz a figura de tentei encontrar através da lei do cosseno: e encontrei . Aí tentei substituir no , mas não encontrei. Este é o caminho?

Obrigada!

[admin]

Olá Cláudia!

1) Você poderá sim utilizar esta expressão para o cálculo da área que é análoga ao produto da medida da base pela altura do triângulo. Também, traçar a altura será necessário.

Mas antes, repare que o problema inicial é "apenas" encontrar as medidas e dos lados.
Depois, o cálculo da área será imediato.

As dicas são:
-traçar a altura, bissetriz do ângulo formado pelos lados de mesma medida;
-lembre-se sempre que o seno refere-se a um triângulo retângulo: marque o ângulo reto entre a altura e a base;
-como o triângulo é isósceles, esta altura passa pela mediatriz da base, ou seja, divide a base em dois segmentos de mesma medida;
-nomeando as medidas da base, dos outros lados e da altura traçada de , e , respectivamente, anote as medidas dos lados dos triângulos retângulos formados (há um par). Atenção pois um dos catetos é ;
-sendo os ângulos de mesma medida, a partir do triângulo retângulo, note que: . Utilize aqui o dado do enunciado para escrever em função de ;
-aplicando o teorema de Pitágoras você terá uma equação entre e ;
-e com a equação dada do perímetro você terá um sistema com duas equações e as incógnitas e .

Bom trabalho!

[admin]

2) Não há apenas uma abordagem, mas este caminho também resolve!
Pode seguir por ele, sem receio. O único trabalho será simplificar o .
Para facilitar, após isolá-lo, eleve ao quadrado ambos os membros da equação.
Somente então racionalize os denominadores.
Depois extraia a raiz quadrada dos membros da equação.

Como o cosseno que você encontrará é de um ângulo notável, você saberá qual é.



Uma alternativa é utilizar a lei dos senos, mas o trabalho é praticamente o mesmo.
Neste caso, adicionalmente, você precisaria encontrar a medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Em uma etapa, consideraria esta equação para encontrar :



Depois, da mesma forma para encontrar o , substituindo encontrado:



Espero ter ajudado.
Até mais!

[claudia]

Obrigada pelas dicas. Vou continuar tentando.

[claudia]

Fábio,
a primeira eu consegui com suas dicas; mas a segunda não deu certo. Eu já havia encontrado o valor de a, mas não sei como resolver raiz de raiz. Tentei elevar ao quadrado, mas acho que calculei errado. Pode me dar uma dica de como calcular esse número a?
Att

[admin]

Olá.

O valor de você já calculou, é este mesmo: .
Da expressão do teorema dos cossenos, você precisa isolar o .
Escreva aqui as etapas que conseguiu na simplificação...

Dicas:
-da expressão do teorema dos cossenos, isole o ;
-eleve os membros ao quadrado;
-simplifique e racionalize o denominador;
-extraia a raiz quadrada dos membros para obter novamente o já simplificado.

[claudia]

Resolução que consegui:


como vou encontrar esse valor de seno?

[admin]

Ao editar, procure deixar cada linha da expressão dentro das tags [tex]...[/tex], pulando uma linha entre cada uma, para facilitar a visualização.
Utilize o botão "Prever" para certificar-se de que sua mensagem ficou como realmente gostaria.
Mesmo após enviar, as mensagens ainda podem ser editadas até um certo tempo.

Como você escolheu utilizar a lei dos senos, confira o cálculo do raio.
Para encontrá-lo você não precisa elevar os membros ao quadrado.
Mas repare que mesmo se elevasse, o raio também ficaria ao quadrado, em sua expressão não está.

Após corrigir o raio, você terá uma nova expressão para o seno.

Lembre-se que você ainda pode fazer como antes, apenas isolar o cosseno a partir da lei dos cossenos.

[claudia]

Achei mais fácil pela lei dos senos; só que meu R deu 1 e fazendo encontrei senB = ; deu isso? E agora?

[admin]

Olá Cláudia!

O raio não é 1.
Para identificarmos o seu erro, tente enviar suas contas a partir daqui, conforme as recomendações que fiz anteriormente:

[claudia]

Soltei linha, mas os denominadores ainda ficaram confusos.

[admin]

Cláudia, você ainda utilizou apenas um par de "tex" para todas as expressões. Utilize um par para cada linha, assim:

Código: Selecionar todos

[tex]2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}= \sqrt{6-3\sqrt{3}}[/tex]

[tex]R = \frac{\sqrt{6-3\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}[/tex]

[tex]\vdots[/tex]


Veja o resultado deste código:







Quando você racionalizou, a de dentro da raiz quadrada "sumiu".

Mas sugiro que você tente assim para simplificar:

[claudia]

Acho que entendi: posso colocar o 3 em evidencia e cortar com o denominador, assim ficarei com aí, ficarei com:

e agora?

[admin]

Isso Cláudia, agora ficam as mesmas dicas como se tivesse isolado o cosseno:

Dicas:
-eleve os membros ao quadrado;
-simplifique e racionalize o denominador;
-extraia a raiz quadrada dos membros para obter novamente o já simplificado.

Note que se você tivesse isolado o cosseno, a partir da lei dos cossenos, teria uma expressão bem semelhante (mas com ) e finalizaria o problema de forma análoga.

[claudia]

Obrigada,
Agora consegui!!!