Geometria Plana - medição da circunferência

por **claudia** » Ter Set 09, 2008 16:49

Boa tarde, Fábio
Estou com dúvida em algumas questões de geometria. Poderia me dar umas dicas??
1. Qual a razão entre os comprimentos das circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado?
sei que o lado do quadrado tem medida $R\sqrt[]{2}$ e qua a apótema do quadrado é $\frac{R\sqrt[]{2}}{2}$ e que esta é a mesma medida do raio da menor circunferência. É por aí?

2. Se aumentarmos o comprimento de uma circunferência de 4cm, quanto aumentará o seu raio, em centímetros?
não sei por onde começar. :?:

por **admin** » Ter Set 09, 2008 20:14

Olá Cláudia!

Sobre a 1ª, é por aí sim.
As medidas do lado e do apótema estão corretas!

Estou considerando a seguinte nomeação:

: raio da circunferência circunscrita

: raio da circunferência inscrita

: comprimento da circunferência circunscrita

: comprimento da circunferência inscrita

Note que o apótema é o próprio

.

Então, basta calcular:
$\frac{C}{c} = \frac{2\pi R}{2\pi r} = ?$

por **admin** » Ter Set 09, 2008 20:26

Para a 2ª, comece representando as expressões para os comprimentos, sendo:

C_1

: comprimento inicial da circunferência
r_1

: raio inicial da circunferência
C_2

: comprimento final da circunferência
r_2

: raio final da circunferência

$C_1 = 2\pi r_1$

$r_1 = \frac{C_1}{2\pi}$

Como:
C_2 = C_1 + 4

$r_2 = \frac{C_1+4}{2\pi}$

Tente terminar, deixando r_2

em função de r_1

.
Dica: não se preocupe em racionalizar as frações!

Bons estudos!

por **claudia** » Qua Set 10, 2008 11:49

Boa Tarde Fábio
Obrigada pelas dicas, deram certo.
Tenho mais duas dúvidas sobre o assunto:
1. AB é um arco da circunferência de centro O, com raio igual à medida da corda AP, A, O e B são colineares. A razão entre o comprimento de AB e o da poligonal APOB é x. Qual o valor de x? (figura 1)
Sei que C= 2 $\pi$ R e que $\frac{AB}{APOB}=x$ . Cada medida de AP, AO, PO e OB tem o mesmo valor:r; então APOB = 3r. Se eu fizer $\frac{AB}{APOB}=\frac{2\pi.r}{3r}$ não daria a resposta: 1<x $\leq$ $\frac{3}{2}$ . O que fiz errado?

2. Calcule o comprimento da circunferência inscrita num quadrante de círculo de raio 2.
(figura 2)
Tenho como achar o comprimento da circunferência maior:

, mas não sei como relacioná-los ou achar o raio da menor.

por **admin** » Qua Set 10, 2008 15:06

Olá Cláudia, boa tarde!

Por favor, ao enviar somente imagens, evite o formato .DOC, mas sim .JPG ou .GIF para que elas apareçam diretamente:

Percebi que você está criando as figuras no próprio Word, tudo bem.
Mas como alternativa, quando as figuras estiverem prontas na tela, você pode utilizar a tecla "Print Screen" para copiar a imagem atual para a área de transferência, abrir seu editor de imagens favorito e colar. Recorte os trechos da figura, cole em nova imagem e salve como .JPG, por exemplo.

1) Apenas confira o valor que você estabeleceu para o arco AB;

2) Tente destacar alguns raios "interessantes" e um triângulo retângulo.
Inclusive, esta tática é muito comum em exercícios de geometria plana, ou seja, construir elementos implícitos óbvios da figura enquanto pensamos, buscar novos triângulos retângulos (com o intuito de aplicar o teorema de Pitágoras) ou outros triângulos semelhantes.

Até mais!

por **claudia** » Qui Set 11, 2008 13:16

Olá Fábio!
Não sou muito boa em informática, mas vou tentar fazer o que disse.
Com relação as questões, desta vez não consegui entender suas dicas. Será que poderia acrescentar algo? :n:

por **admin** » Qui Set 11, 2008 13:35

Olá Cláudia!

1)

claudia escreveu:O que fiz errado?

A medida do arco AB.

2) Construiu raios da circunferência inscrita?
Também, construa outro raio 2 para formar um triângulo retângulo...

por **claudia** » Qui Set 11, 2008 14:48

Eu entendi que o arco AB está errado, mas não sei como achar a medida correta. *-)

por **admin** » Qui Set 11, 2008 14:55

claudia escreveu:Eu entendi que o arco AB está errado, mas não sei como achar a medida correta.

Qual o perímetro de uma circunferência de raio

?
Qual a medida do arco

?

por **claudia** » Qui Set 11, 2008 15:05

OK!
Valeu! :y:

por **claudia** » Qui Set 11, 2008 15:25

Fábio,
a 2ª questão ainda não consegui. Tracei outro raio 2 e raios na circunferência inscrita, formando o triângulo retângulo, mas não sei nenhuma medida dele, já que sua base não é a metade de 2.

por **admin** » Qui Set 11, 2008 15:37

Cláudia, consegue enviar esta nova figura formada com suas construções?
Caso você tenha construído o mesmo triângulo retângulo que eu imagino, sabemos as medidas dos lados em função do raio da circunferência inscrita. E por Pitágoras encontramos este raio.

por **claudia** » Sex Set 12, 2008 14:51

Ainda não consegui aprender como mando a figura do jeito que você falou, mas estou enviando como as outras. Prometo aprender logo! Obrigada!

por **claudia** » Sex Set 12, 2008 14:56

Esqueci a figura!!

por **admin** » Sex Set 12, 2008 15:05

Cláudia, esta foi a figura enviada:

: circunferencia3.jpg (6.35 KiB) Exibido 20403 vezes

Foi praticamente a mesma construção que imaginei, mas não coloquei o cateto do triângulo maior, não convém pois não temos informações sobre ele.

Pense apenas no triângulo retângulo menor formado.
O que você sabe sobre as medidas dos lados?

Para facilitar, construa outro raio da circunferência inscrita.
Ainda melhor do que utilizar Pitágoras, será considerar o quadrado formado de lado

.
Pensando na diagonal do quadrado, apenas uma equação do primeiro grau resolve o problema.

por **claudia** » Sex Set 12, 2008 16:42

Sei que os catetos têm a mesma medida r, mas não sei o valor da hipotenusa.

por **claudia** » Sex Set 12, 2008 16:44

Acho que descobri: seria 2-r?

por **admin** » Sex Set 12, 2008 16:51

Exatamente, a hipotenusa é 2-r

, pensando pela diferença das medidas.

Agora, há duas alternativas para encontrar

.
Uma, aplicando diretamente o teorema de Pitágoras para este triângulo e resolvendo uma equação de segundo grau.
Mas a outra que comentei é mais simples, pois 2-r

também é a medida da diagonal do quadrado de lado

(equação de primeiro grau :-D

).

por **claudia** » Sex Set 12, 2008 16:57

Consegui!!! :party:

Obrigada!!!

por **admin** » Sex Set 12, 2008 17:04

Por nada!
Desculpe a "economia" nas dicas, mas preferi assim senão ficaria muito simples e você perderia o mérito da resolução.

Fica aquela recomendação: sempre acrescente na construção algo óbvio que está implícito, por exemplo, raios! "Veja" triângulos retângulos, procure-os! Depois, use semelhanças ou Pitágoras.

Bons estudos!

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