Quadrado

por **Diocos** » Qua Fev 23, 2011 18:32

Olá,
um colega meu está estudando p/ concursos e sempre me proponho a ajudar com a parte de exatas. Certo dia, resolvi lhe fazer uma pergunta, com o objetivo de aguçar seu uso da intuição no estudo da matemática. Escrevi em um papel "x²", e lhe perguntei o que era. Após ele dar algumas respostas corretas (e deixei isso claro), respondi-lhe que aquilo era um quadrado. Ao que ele começou a discutir dizendo que eu estava errado, porem sem utilizar argumentação alguma, apenas dizendo que aquilo era uma potencia, um "x elevado ao quadrado", mas que não era um quadrado.

Pois bem, reconheço que, a rigor, não podemos dizer que "x²" é um quadrado, a menos que x pertança ao conjunto dos inteiros, porém não pode-se afirmar que não o seja, uma vez que o domínio não foi definido.

Gostaria de uma opinião de profissionais da área, como lidar com uma situação como essa. Apesar de não ser um profissional da área de matemática, gosto bastante, sempre me proponho a ajudar, e acho que esse tipo de intuição é muito importante na resolução de problemas novos, ou complexos à primeira vista.

Grato, desde já, pela atenção, e desculpas antecipadas caso tenha infrigido alguma regra.

por **Elcioschin** » Qua Fev 23, 2011 19:00

O mais correto seria você dizer:

x² é a ÁREA de um quadrado de lado x
x² é uma potência de base x e expoente 2

Além disso, NÃO é necessário que x seja INTEIRO para representar a área de um quadrado. X pode ser qualquer valor, inclusive um valor irracional. Por exemplo

Se x = V2 -----> x² = 2 -----> A área do quadrado vale 2

Se x = pi -----> x² = pi² ----> A área do quadrado vale pi²

por **Diocos** » Qua Fev 23, 2011 20:58

Olá Elcioschin,

O que ocorreu foi que esse meu colega, no auge da discussão, mandou um email perguntando a uma amiga que é prof. de matemática a questão. A resposta dela foi de que deve-se ter cuidado ao dizer que x² é um quadrado, pois "x pode adquirir qualquer valor, o que não necessariamente representa um quadrado."

Vindo de um professor, não vou discutir. Apesar de que, raciocinando agora, não consigo pensar em um valor de x para o qual x² não corresponda a um quadrado.

E sobre a sua resposta de que seria mais correto eu dizer que é a área de um quadrado, meu objetivo era mostrar que uma visão diferente da convencional pode ajudar a resolver alguns problemas quando esquecemos ou não temos certeza da formula a ser utilizada. Com essa visão de um quadrado, por exemplos, dá pra entender como se resolve uma equação de 2º grau sem utilizar a manjada formula. Ou pelo menos de onde vem a fórmula, o que eu considero muito mais valioso do que simplesmente decorar. Aproveito para perguntar: é incorreta esta abordagem?

De qualquer forma, muito obrigado pela sua resposta.

por **Renato_RJ** » Qua Fev 23, 2011 22:56

Diocos, eu penso da seguinte maneira... Dizemos que x^2

é um quadrado pois, geralmente, nos referimos como domínio da função o conjunto dos Naturais, então, sempre teremos um quadrado perfeito, mas se o domínio for outro, tipo os Reais, aí a coisa realmente muda de figura, por isso evito chamar essa função de quadrado...

por **LuizAquino** » Qui Fev 24, 2011 07:03

Algumas figuras geométricas possuem equações que as representam algebricamente.

Por exemplo, y=x^2

representa uma parábola. Já a equação $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ representa uma elipse. E há muitos outros exemplos.

Por outro lado, o monômio x^2

pura e simplesmente, fora de um contexto, representa apenas um número elevado a 2. Apenas isso.

Agora, se x é a medida do lado de um quadrado, então de fato x^2

representa o valor de sua área. Perceba que eu tive que inserir um contexto. Eu tive que dizer que x é a medida do lado de um quadrado para que x^2

ganhasse uma "interpretação geométrica". Ainda assim, mesmo inserindo esse contexto, é errado afirmar que x^2

é um quadrado. Nessa afirmação o erro está em confundir a figura geométrica com o valor de sua área.

Vou dar mais um exemplo. A inequação $x^2+y^2 \leq r^2$ representa um círculo de raio r. Por outro lado, $\pi r^2$ é a área desse círculo. Seria errado afirmar que $\pi r^2$ é o círculo.

por **Elcioschin** » Qui Fev 24, 2011 09:23

Diocos

Você disse que não consegue visualizar um valor de x que não seja o lado du um quadrado.

Vou dar um exemplo ----> x = i ----> onde i é Raiz Quadrada de (-1) ----> x = V(-1) ----> Neste caso ----> x² = - 1

Não existe nenhum quadrado de área -1

Logo, uma definição completa de x²:

Para x real o valor x² representa a área de um quadrado de lado x

por **LuizAquino** » Qui Fev 24, 2011 09:40

Elcioschin escreveu:Diocos
Logo, uma definição completa de x²:
Para x real o valor x² representa a área de um quadrado de lado x

Sabemos que -1 é um valor real. Pela sua definição, (-1)^2 = 1

é a área do quadrado de lado -1. Mas, não faz sentido um lado com medida negativa. Portanto, uma pequena correção:

Para x real positivo e não nulo, o valor x² representa a área de um quadrado de lado x.

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