Bissetriz e Ângulo Perpendicular

por **Balanar** » Sex Set 17, 2010 01:34

ABC é um triângulo retângulo e AH é a altura relativa à hipotenusa BC. Demonstrar que as bissetrizes dos ângulos B e HÂC são perpendiculares.

por **alexandre32100** » Sex Set 17, 2010 23:30

É sempre bom "desenhar" o enunciado para resolver esse tipo de questão.

$\alpha=H\hat{A}C$
$\beta=A\hat{B}C$
$\gamma= \hat{\text{a}}\text{ngulo formado pelo cruzamento das bissetrizes}$

De acordo com a soma dos ângulo internos do triângulo AHB

e daquele com vértices em

,

e no ponto de intersecção das bissetrizes, chegamos a:
$\begin{cases}90^{\circ}-\alpha+\beta+90^{\circ}=180^{\circ}\\\left(90^{\circ}-\alpha+\dfrac{\alpha}{2}\right)+\dfrac{\beta}{2}+\gamma=180^{\circ}\end{cases}$
simplificando as duas expressões:
$\begin{cases}\alpha=\beta\\ \dfrac{\beta-\alpha}{2}+\gamma=90^{\circ}\end{cases}$
Agora, fica fácil perceber que $\gamma=90^{\circ}$ , ou seja, as duas bissetrizes são paralelas. $\square$

por **Balanar** » Sex Set 17, 2010 23:42

Vlw Fera.

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