Inscreveremos(não estranhe! É assim que se escreve, mesmo
) o decágono em uma circunferência de raio
e o dividiremos em
dez triângulos
congruentes, conforme abaixo:
Como todos os dez triângulos são congruentes, o ângulo central mede
º e, como o triângulo é isóceles, os outros dois ângulos medem
º.
Tracemos a bissetriz relativa a um dos ângulos de
º , dividindo-o portanto em dois ângulos de
º . Obteremos, assim, dois novos triângulos isóceles que são semelhantes, pelo critério
ângulo-ângulo.
Na figura acima, os ângulos em verde medem
º e em vermelho medem
º . Pelos triângulos isóceles, os lados demarcados são congruentes e medem
, isto é, o lado do decágono.
Da semelhança dos triângulos supracitados, temos que:
, se chamarmos
, então:
Resolvendo a equação do segundo grau em
, obtemos duas raízes, uma delas negativa. Nos interessa somente a raiz positiva, a saber:
e, portanto,
Voltemos ao triângulo principal de lados
. Aplicando o Teorema dos Cossenos, temos que:
º , isto é,
e fazendo uso da relação entre
e
, temos:
e, portanto,
Ora, do Teorema Fundamental da Trigonometria, temos que:
; assim
Ainda no triângulo principal, pela Lei das Áreas, temos que a área do triângulo pode ser dada por:
e, fazendo uso da relação já calculada entre
e
, bem como, do valor de
º, temos que:
Seja
a área do decágono, então
. Assim:
, que é a área do decágono regular em função do comprimento do seu lado.
Não consegui entender o suposto gabarito, mas desde já digo que não existem erros nessa resolução.
Depois você revê.