Ajuda Matemática

Boa noite, estou tentando ajudar a uma funcionária que trabalha comigo na resolução de algumas questões de matemática. Porém, não consegui resolver as seguintes questões:

Questão 1: O segmento AB é diâmetro da circunferência cuja equação é x² + y² = 10y. Se A é o ponto (3;1), então calcule as coordenadas do ponto B.

Questão 2: Para que a equação x² + y² - 4x + 8y + K = 0 represente um ponto, devemos ter:
a) k= 20 b) k = 13 c) k = 12 d)k = 14 e) k = 10

Ficarei no aguardo de suas orientações. Grata pela ajuda, desde já.
Adriana.

Olá Adri. Primeiro vamos determinar as formas reduzidas da equação da circunferência (em ambos os problemas):



Usando o método de completar quadrados, chegamos a seguinte forma reduzida:



Comparando com a equação geral da circunferência , temos:

Centro: (0,5)
Raio: 5

Agora o que queremos encontrar é um ponto que dista 5 unidades do centro e 10 unidades do ponto A: (Aqui é possível resolver algebricamente, mas eu prefiro usar um argumento geométrico, já que estamos falando do diâmetro. Os valores em azul são aqueles já conhecidos.)



Vemos que o ponto B é (-3,9). (Perdoe-me pela visível falta de proporção da figura!)

Agora o segundo:

Novamente completaremos os quadrados na equação:



O que nos interessa aqui é que o raio seja igual a zero, deste modo a equação corresponderá apenas a um ponto (o centro da potencial circunferência). Logo:



Letra A

Até a próxima.

Boa noite,
Venho agradecer a ajuda na resolução dos problemas enviados. Procurei entender o desenvolvimento das questões e já repassei à minha funcionária, que ficou imensamente agradecida e feliz, por conseguir o trabalho com todas as questões resolvidas.
Aproveito para parabenizar a iniciativa, no incentivo aos estudos e aprimoramento da matemática.
Torço para que continue ajudando muitas outras pessoas, e quem sabe a mim mesma novamente.
Mais uma vez agradeço.
Abraço, Adriana.

Disponha Adriana. Dúvidas serão sempre bem recebidas por aqui e tratadas com seriedade. Até uma próxima vez.

Hola Douglasm.

Muito boa a sua explicação. Seria muito mais fácil encontrar o raio da circunferência e aplicar a fórmula do ponto médio de um segmento. Vc tem o ponto A(3, 1) e tem o C(0, 5). O cento é o ponto médio do segmento AB. Então:

x_m = (x + 3)/2
0 = (x + 3)/2
x + 3 = 0
x = -3
=======
y_m = (y + 1)/2
5 = (y + 1)/2
2*5 = y + 1
10 - 1 = y
y = 9
============
B=(-3, 9). Bem mais simples.