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Geometria plana - Circunferência

Geometria plana - Circunferência

Mensagempor Adri » Ter Mai 18, 2010 22:12

Boa noite, estou tentando ajudar a uma funcionária que trabalha comigo na resolução de algumas questões de matemática. Porém, não consegui resolver as seguintes questões:

Questão 1: O segmento AB é diâmetro da circunferência cuja equação é x² + y² = 10y. Se A é o ponto (3;1), então calcule as coordenadas do ponto B.

Questão 2: Para que a equação x² + y² - 4x + 8y + K = 0 represente um ponto, devemos ter:
a) k= 20 b) k = 13 c) k = 12 d)k = 14 e) k = 10

Ficarei no aguardo de suas orientações. Grata pela ajuda, desde já.
Adriana.
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Re: Geometria plana - Circunferência

Mensagempor Douglasm » Ter Mai 18, 2010 22:53

Olá Adri. Primeiro vamos determinar as formas reduzidas da equação da circunferência (em ambos os problemas):

1: x^2 + y^2 = 10y  \; \therefore \; x^2 + y^2 - 10y = 0

Usando o método de completar quadrados, chegamos a seguinte forma reduzida:

x^2 + (y-5)^2 = 25

Comparando com a equação geral da circunferência (x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = R^2, temos:

Centro: (0,5)
Raio: 5

Agora o que queremos encontrar é um ponto que dista 5 unidades do centro e 10 unidades do ponto A: (Aqui é possível resolver algebricamente, mas eu prefiro usar um argumento geométrico, já que estamos falando do diâmetro. Os valores em azul são aqueles já conhecidos.)

círculocomreta.JPG
círculocomreta.JPG (11.16 KiB) Exibido 6598 vezes


Vemos que o ponto B é (-3,9). (Perdoe-me pela visível falta de proporção da figura!)

Agora o segundo:

Novamente completaremos os quadrados na equação:

x^2 + y^2 -4x + 8y +k = 0 \; \therefore \; (x^2 - 4x +4) + (y^2+8y+16) = -K +4+16 \; \therefore \; (x-2)^2 + (x+4)^2 = -K + 20

O que nos interessa aqui é que o raio seja igual a zero, deste modo a equação corresponderá apenas a um ponto (o centro da potencial circunferência). Logo:

-K+20=0 \; \therefore \; K=20

Letra A

Até a próxima.
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Re: Geometria plana - Circunferência

Mensagempor Adri » Qua Mai 19, 2010 22:12

Boa noite,
Venho agradecer a ajuda na resolução dos problemas enviados. Procurei entender o desenvolvimento das questões e já repassei à minha funcionária, que ficou imensamente agradecida e feliz, por conseguir o trabalho com todas as questões resolvidas.
Aproveito para parabenizar a iniciativa, no incentivo aos estudos e aprimoramento da matemática.
Torço para que continue ajudando muitas outras pessoas, e quem sabe a mim mesma novamente.
Mais uma vez agradeço.
Abraço, Adriana.
Adri
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Re: Geometria plana - Circunferência

Mensagempor Douglasm » Qui Mai 20, 2010 13:04

Disponha Adriana. Dúvidas serão sempre bem recebidas por aqui e tratadas com seriedade. Até uma próxima vez.
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Mensagempor paulo testoni » Qua Abr 29, 2020 15:11

Hola Douglasm.

Muito boa a sua explicação. Seria muito mais fácil encontrar o raio da circunferência e aplicar a fórmula do ponto médio de um segmento. Vc tem o ponto A(3, 1) e tem o C(0, 5). O cento é o ponto médio do segmento AB. Então:

x_m = (x + 3)/2
0 = (x + 3)/2
x + 3 = 0
x = -3
=======
y_m = (y + 1)/2
5 = (y + 1)/2
2*5 = y + 1
10 - 1 = y
y = 9
============
B=(-3, 9). Bem mais simples.
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Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: Balanar - Seg Ago 09, 2010 04:01

Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


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Autor: MarceloFantini - Qua Ago 11, 2010 05:46

É só fazer a dica.


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Autor: Soprano - Sex Mar 04, 2016 09:49

Olá,

O resultado é igual a 1, certo?