Ajuda Matemática

(epusp-escola politecnica da universidade de sao paulo-exame de admissao 1948)
provar que se a e b sao as medidas dos catetos de um triangulo retangulo e c a medida da hipotenusa,tem-se:

$2.{log}_{(b+c)}a.({log}_{(c-b)}a)={log}_{(b+c)}a + {log}_{(c-b)}a$

soluçao:
temos como dado que:
${c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}\Rightarrow {a}^{2}={c}^{2}-{b}^{2} {a}^{2}=(c+b).(c-b)$ ,
pois a,b,c formam um triang.retangulo...
logo teremos:
${log}_{(b+c)}{a}^{2}={log}_{(b+c).(c-b)}={log}_{(b+c)}(b+c)+{log}_{(b+c)}(c-b)$

$\Rightarrow 2.{log}_{(b+c)}a=1+{log}_{(b+c)}(b-c)$
aqui faremos uso da propriedade de mudança de base:

$2.{log}_{(b+c)}a=1+{log}_{(a)}(c-b).{log}_{(c+b)}a =1+(1/{log}_{(c-b)}a).{log}_{(c+b)}a=({log}_{(c-b)}a+{log}_{(b+c)}a)/{log}_{(c-b)}a$

$\Rightarrow 2.{log}_{(b+c)}a.{log}_{(c-b)}a={log}_{(c+b)}a+{log}_{(c-b)}a$

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exerc.proposto

exerc.proposto

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