Hipotenusa de triangulo em funçao do perimetro e altura

por **Shambaloso** » Qua Jul 06, 2016 19:54

Olá, jovens, essa é minha primeira dúvida aqui, entao perdoem quaisquer erros de conduta, por favor. Vamos ao ex:

Sabendo que a altura de um triângulo relativa a hipotenusa é 12, exprima o comprimento da hipotenusa em função do perímetro de tal triângulo.

Chamemos os catetos de A e B, hipotenusa de C.

Por semelhança entre de triângulos vem: 12/A=B/C de onde B = 12C/A (I)

Substituindo B no Teorema de Pitágoras vem: 144C²/A² + A² = C² de onde acharíamos A em função de C para depois substituir em (I) e achar B em função de C.

Dessa forma, a equação do perímetro 2p = A + B + C ficaria em função de C, de onde poderíamos finalmente tirar a resposta do exercício.

O problema é aquela equação biquadrada que é gerada pelo teorema de pitágoras, cuja solução leva a uma resolução extremamente trabalhosa. Por isso estou em dúvida se minha abordagem está correta e/ou se há mais jeitos de fazer o exercício.

Desde já obrigado!

por **adauto martins** » Sáb Jul 09, 2016 18:11

sejam x,y,h,os lados de um triangulo,no caso retangulo,pois foi dado q. a hipotenusa,tem uma relaçao de 12 com altura deste...vamos chamar y=altura,h=hipotenusa...o perimetro é a soma dos lados,entao...
p=x+y+h

... $h\succ y$ (por que?) $\Rightarrow h=12y\Rightarrow x=\sqrt[]{{h}^{2}-{y}^{2}}$ ...o problema pede $p=f(h)\Rightarrow p=\sqrt[]{{h}^{2}-{(h/12)}^{2}}+h/12+h$ ...ai é fazer as contas e...

por **Shambaloso** » Sáb Jul 09, 2016 19:42

Não amigo, no enunciado consta que a altura relativa a hipotenusa é 12 (unidades, centimetros, metros, o que vc preferir), e não que a hipotenusa é 12 vezes o comprimento da altura.

por **adauto martins** » Dom Jul 10, 2016 11:03

pois é meu caro,isso mesmo q. fiço...uma relaçao de proporcionalidade,nao vejo outra,pelo enunciado do problema...sedo um triang.retangulo(pq o enunciado diz hipotenusa) a hipotenusa é sempre maior q. os catetos,pisso $h\succ y$ ...logo teremos:
$p=(\sqrt[]{143}h/12)+13/12h=h/12(\sqrt[]{143}+13)\Rightarrow h=12p/(\sqrt[]{143}+13)$ $p=(\sqrt[]{143}h/12)+13/12h=h/12(\sqrt[]{143}+13)\Rightarrow h=12p/(\sqrt[]{143}+13)\Rightarrow h=12p.(\sqrt[]{143}-13)/(143-169)=12p.(13-\sqrt[]{143})/26$ $\Rightarrow h=(6/13).(13-\sqrt[]{143})p$ ...