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[Quadrilátero circunscrito] Área de trapézio circunscrito.

[Quadrilátero circunscrito] Área de trapézio circunscrito.

Mensagempor LCV » Qua Jun 22, 2016 14:13

Olá, pessoal!

Estou estudando para um processo seletivo do IFES, curso técnico. Para isso, tento resolver questões de anos anteriores, e empaquei na seguinte:

Imagem

Não consigo visualizar a resolução de forma alguma!

Consegui apenas achar a altura do trapézio, depois de encontrar a altura do triângulo equilátero, de lado 6 (duas vezes o raio) formado pela conexão entre os centros de cada circunferência. Mas isso não me adiantou para encontrar o perímetro.

Alguma ajuda para encontrar os lados do quadrilátero e, assim, seu perímetro?

Grato!
LCV
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Re: [Quadrilátero circunscrito] Área de trapézio circunscrit

Mensagempor VonHeld18 » Qua Jun 22, 2016 21:31

Olá!! Creio que a resposta correta seja a letra “c” e te demonstrarei o porquê.
Primeiro é necessário conhecer um teorema da geometria plana. Segundo ele, retas tangentes à circunferência que partem do mesmo ponto definem segmentos congruentes desde esse ponto até a tangência. Por consequência, a reta que une esse ponto ao centro da circunferência é a bissetriz desses segmentos.

Além disso, como se pode ver na imagem abaixo, a partir do prolongamento das retas AD e BC, obtém-se o triângulo equilátero ARB, que por sua vez é semelhante ao grandãlhão DRC. Como os ãngulos interno de um triãngulo equilátero são iguais, vê-se que os ângulos internos do trapézio isósceles ABCD são  e ^B= 120° e ^C e ^D= 60°.

Daí fica fácil. Basta saber que o raio da circunferência é perpendicular aos pontos de tangência e resolver os triângulos retângulos ZDJ, IYF e WOA por relações trigonométricas. Achando, deste modo, os valores de g e f, que são Imagem e Imagem. Depois basta somar tudo e você chegará ao resultado Imagem
PS: Perdão pela horrível montagem no paint.

Imagem
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Re: [Quadrilátero circunscrito] Área de trapézio circunscrit

Mensagempor LCV » Qui Jun 23, 2016 11:46

Obrigado pela ajuda, VonHeld18!!

Achei que eu não pudesse prolongar as retas e formar um triângulo equilátero; parei por aí!

Ah, quando disse "triângulo IYF", quis dizer IYC, não é?

Grato!
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D