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Numeros complexos e geometria!

Numeros complexos e geometria!

Mensagempor Estela » Dom Mar 16, 2008 01:57

Assim o problema:
Um hexagono regular esta inscrito numa circunferencia de equação x²+y²=4 e um de seus vertices e o afixo de z=2i determine seus outros 5 vertices.
Eu pensei q cara aresta do hexagono valesse 4. Dai tentei aplicar o "4" na formula da distancia usando o vertice q conheço (0,2) e outro desconhecido (x,y)
Mas não regula com a resposta do exercicio e estou desesperada porque tnho um trabalho sobre isso!
Obrigada
Estela
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Re: Numeros complexos e geometria!

Mensagempor fabiosousa » Dom Mar 16, 2008 03:27

Olá Estela, seja bem-vinda!

Sobre o que você pensou, considere o seguinte:
A equação da circunferência nos diz que o raio é 2.
E se a aresta do hexágono regular medisse 4, ele não caberia inscrito na circunferência de raio 2.

Estes passos ajudarão você a entender a solução:

Encontre o ângulo central do polígono regular, neste caso, um hexágono.
Sendo \alpha este ângulo, em radianos você pode encontrá-lo assim:
\alpha = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}

Ou, em graus:
\alpha = \frac{360^o}{6} = 60^o

Ou seja, como o raio da circunferência é 2, o primeiro argumento é que podemos dividir o hexágono em seis triângulos isósceles.
Mas, como \alpha = 60^o e a soma dos ângulos internos de todo triângulo é 180^o, segue que os demais ângulos internos também são 60^o, logo, cada triângulo é equilátero.

Após você desenhar ou pensar na figura, perceberá que então basta encontrar as distâncias h e c, pois assim terá as coordenadas do ponto V que é um vértice.
hexagono_regular.jpg
hexagono_regular.jpg (24.96 KiB) Exibido 3472 vezes


Você deverá encontrar que V = \left( \sqrt{3},1 \right).
Para calcular h, considere que é a altura do triângulo equilátero de lado 2.

E c, você pode obter por Pitágoras, ou simplesmente por simetria, pois a medida c é metade do lado do triângulo.



Enfim, após obter V acima, por simetria (reflexão nos eixos) você obtém os demais vértices do hexágono.

São todos eles, no sentido anti-horário:
\left( \sqrt{3},1 \right)

\left( 0,2 \right)

\left( -\sqrt{3},1 \right)

\left( -\sqrt{3},-1 \right)

\left( 0,-2 \right)

\left( \sqrt{3},-1 \right)


Espero ter ajudado!
Fábio Sousa
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Re: Numeros complexos e geometria!

Mensagempor Estela » Dom Mar 16, 2008 20:11

Muitissimo obrigada Professor Fábio!
Agradeço imensamente a atenção!
Consegui compreender muito bem o exercício!
Obrigada mais uma vez!
Estela
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?