Numeros complexos e geometria!

por **Estela** » Dom Mar 16, 2008 01:57

Assim o problema:
Um hexagono regular esta inscrito numa circunferencia de equação x²+y²=4 e um de seus vertices e o afixo de z=2i determine seus outros 5 vertices.
Eu pensei q cara aresta do hexagono valesse 4. Dai tentei aplicar o "4" na formula da distancia usando o vertice q conheço (0,2) e outro desconhecido (x,y)
Mas não regula com a resposta do exercicio e estou desesperada porque tnho um trabalho sobre isso!
Obrigada

por **admin** » Dom Mar 16, 2008 03:27

Olá Estela, seja bem-vinda!

Sobre o que você pensou, considere o seguinte:
A equação da circunferência nos diz que o raio é 2.
E se a aresta do hexágono regular medisse 4, ele não caberia inscrito na circunferência de raio 2.

Estes passos ajudarão você a entender a solução:

Encontre o ângulo central do polígono regular, neste caso, um hexágono.
Sendo $\alpha$ este ângulo, em radianos você pode encontrá-lo assim:
$\alpha = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

Ou, em graus:
$\alpha = \frac{360^o}{6} = 60^o$

Ou seja, como o raio da circunferência é 2, o primeiro argumento é que podemos dividir o hexágono em seis triângulos isósceles.
Mas, como $\alpha = 60^o$ e a soma dos ângulos internos de todo triângulo é 180^o

, segue que os demais ângulos internos também são 60^o

, logo, cada triângulo é equilátero.

Após você desenhar ou pensar na figura, perceberá que então basta encontrar as distâncias h e c, pois assim terá as coordenadas do ponto V que é um vértice.

: hexagono_regular.jpg (24.96 KiB) Exibido 7093 vezes

Você deverá encontrar que $V = \left( \sqrt{3},1 \right)$ .

Para calcular h, considere que é a altura do triângulo equilátero de lado 2.

E c, você pode obter por Pitágoras, ou simplesmente por simetria, pois a medida c é metade do lado do triângulo.

Enfim, após obter V acima, por simetria (reflexão nos eixos) você obtém os demais vértices do hexágono.

São todos eles, no sentido anti-horário:
$\left( \sqrt{3},1 \right)$

$\left( 0,2 \right)$

$\left( -\sqrt{3},1 \right)$

$\left( -\sqrt{3},-1 \right)$

$\left( 0,-2 \right)$

$\left( \sqrt{3},-1 \right)$

Espero ter ajudado!