Calculo da trajetoriade uma imagem no espelho

por **robertomarinho** » Ter Dez 15, 2009 20:26

Este problema estava em uma prova do IFRJ cujo conteudo era do ensino fundamental:

"Fernanda se encontrava distante meio metro do espelho, antes de ele ter girado, com sua imagem centralizada. O espelho girou 15°, afastando-se dela. Sua imagem se deslocou, descrevendo um caminho. Sabendo-se que o meu espelho é retangular, de dimensões 1 m xl, 7m e que ocupa toda a porta do armário, determine a natureza do caminho descrito pela imagem e o seu comprimento em metros."

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Gente eu confesso que postaria minhas tentativas, mas eu não faço a mais pálida idéia de como resolver este problema.
Meu prof de matemática tambem não soube.
Agradeço muuuuiiito desde já e um abraço para todos que tentarem.

Atenciosamente,
Roberto Marinho

por **Elcioschin** » Qua Dez 16, 2009 13:30

Na verdade é bem simples, desde que bem analisado.

Faça um bom desenho em escala:

Seja VE o espelho (V é o vértice esquerdo fixo) ----> VE = 1m
Seja M o ponto médio do espelho.
Seja F a Fernanda ----> FM = 0,5m
Seja G a imagem de Fernanda ---> GM = 1 m
Desenhe agora o espelho VE' na nova posição ----> ^EVE' = 15º
Por F trace uma perpendicular ao espelho na nova posição. Seja N o pé da perpendicular sobre o espelho
Meça a distância FN. Prolongue FN até um ponto H tal que HN = FN. H é a nova imagem de Fernanda.

Se você esolher mais alguns ângulos verá que a imagem de Fernanda descreve um arco de circunferência. Comece com o espelho encostado em Fernanda (neste caso a imagem coincide com ela)

Triângulo retângulo FMV ----> VF² = VM² + FM² -----> VF² = (1/2)² + (1/2)² ----> VF² = 1/2 ----> VF = V2/2

VF é o raio r da circunferência que a imagem descreve.

Ângulo GFH = Ângulo EVE' (lados respectimente perpendiculares) -----> ^GFH = 15º

O ângulo GFH é um ângulo inscrito na circunferência citada. Logo, o arco GH vale ----> Arco GH = 2*15º = 30º

Agora é uma simples regra de três:

180º ----- pi*r
30º ------- x

x = (30º/180º)*pi*r ----> x = pi*r/6 ----> x = pi(V2/2) ----> x = pi*V2/12 ----> Alternativa D