Sejam A, B e C pontos dois a dois distintos. Mostre que AB + BC >/= AC, e que AB + BC = AC se , e somente se, B está no segmento AC.
Primeiro, mostremos que AB + BC >/= AC. De imediato, pela Desigualdade Triangular, vem que AB + BC > AC se A, B e C não são colineares; caso contrário, temos as seguintes possibilidades, conforme as posições dos pontos em questão:
1 - AB + BC = AC , quando A - B - C;
2 - AB + BC > AC, quando B - A - C;
3 - AB + BC > AC, quando A - C - B;
Logo, concluímos que AB + BC >/= AC. Agora, mostremos a bicondicional: AB + BC = AC
B está no segmento AC. Note que, de imediato, por 1, a "ida" já está satisfeita. Para concluir, mostremos a "volta". Também é de imediato pois, por 2 e 3, podemos concluir que, satisfeita a hipótese, A - B - C, então a tese é confirmada. Observe que 2 e 3 contradizem a hipótese de que B está no segmento AC.
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