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Geometria no espaço- coordenadas de ponto

Geometria no espaço- coordenadas de ponto

Mensagempor emsbp » Sáb Abr 06, 2013 16:34

Boa tarde. É dado a equação do plano \alpha: x-3y-2z+4=0 e o ponto P(-1;2;1). O exercício pede que determinemos as coordenadas do ponto T, pertencente ao plano \alpha, e que está mais próximo do ponto P.
Sei que a distância mais próxima do ponto P terá de ser na perpendicular em relação a T. Comecei por pensar em formar o vetor TP, sendo T(x,y,z), mas a partir daí não estou a conseguir resolver.
Peço ajuda.
Obrigado!
emsbp
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Re: Geometria no espaço- coordenadas de ponto

Mensagempor temujin » Sáb Abr 06, 2013 17:55

Boa tarde.

Este vetor TP que vc tomou pode sempre ser decomposto em uma soma de 2 vetores: um paralelo ao vetor normal ao plano (que é a projeção ortogonal de TP sobre N) e outro paralelo ao próprio plano. A distância de P ao plano será, então, igual à norma da projeção ortogonal e é dada por:

\frac{\left | \vec{TP}.N \right |}{\left || N \right ||}

Acho que com isto vc consegue prosseguir, certo?
temujin
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Re: Geometria no espaço- coordenadas de ponto

Mensagempor Russman » Sáb Abr 06, 2013 18:42

O seu pensamento está correto.

Primeiro, você constrói o vetor \overrightarrow{TP} usando P(-1,2,1) e T(x,y,z).

\overrightarrow{TP}=<(x_p - x_T),( y_p - y_T ),(z_p - z_T)> = <(-1-x),(2-y),(1-z)>.

Agora, como você disse, esse vetor deve ser perpendicular a qualquer vetor pertencente ao plano. Isto é, o vetor \overrightarrow{TP} tem de ser paralelo ao vetor normal ao plano que é obtido pelos coeficientes da equação do plano.

\alpha :ax+by+cz+d=0\Rightarrow \overrightarrow{n}=<a,b,c>\Rightarrow  \overrightarrow{n}<1,-3,-2>.

Ou seja, o produto vetorial \overrightarrow{TP}\times \overrightarrow{n} tem de ser nulo e , consequentemente, o vetor \overrightarrow{TP} é um múltiplo do próprio vetor normal. Mas não qualquer múltiplo. Note que o módulo de \overrightarrow{TP} é exatamente a distância(definida perpendicularmente ao plano) entre o plano e o ponto P. Sabemos que esta é dada por

d(P,\alpha ) = \frac{\left | ax_p+by_p+cz_p+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

que pode ser calculada uma vez que conhecemos o ponto P. Vou chamar essa distância de k.

Portanto,

\overrightarrow{TP}=d(P,\alpha )\frac{\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{n} \right |} =  \frac{k}{\sqrt{1^2+(-3)^2+(-2)^2}}<1,-3,-2> = \frac{k}{\sqrt{14}}<1,-3,-2>

e, assim,

<(-1-x),(2-y),(1-z)> = \frac{k}{\sqrt{14}}<1,-3,-2>

de onde

-1-x = \frac{k}{\sqrt{14}}
2-y = -3 \frac{k}{\sqrt{14}}
1-z = -2 \frac{k}{\sqrt{14}}

Agora basta você isolar as coordenadas de T.

(:
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Re: Geometria no espaço- coordenadas de ponto

Mensagempor emsbp » Dom Abr 07, 2013 16:37

Boa tarde.
Muito obrigado. Já percebi.
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.