exerc.resolvido

[adauto martins]

(ENE-escola nacional de engenharia da universidade do brasil,rj-exame de admissao 1953)
determinar o comprimento do menor segmento de reta que passa pelo ponto de coordenadas nao nula(a,b) e cujas extremidades estao sobre o eixos coordenados,supostos retangulares.

[adauto martins]

soluçao:
vamos tomar o primeiro quadrante para efeito de calculo,mas vale para qquer quadrante.
seja M(x,0) e N(0,y) os ponto dos eixos extremos do segmento que contem o ponto(a,b).
entao temos a seguinte configuraçao,vamos imaginar.uma reta inclinada,passando por (a,b),formando um triangulo retangulo com os eixos,onde o angulo reto seja a origem,ou seja o triang.retangulo MON.construamos dentro desse triang.retangulo o triangulo MbP,onde b,é o ponto (0,b) e P(a,b).esses triangulos sao semelhante,logo teremos as proporçoes:



daqui isolamos y=f(x),com algebrismos comuns(faça-os!),teremos:


bom,sabemos que o segmento MN, é a hipotenusa do triangulo maior,MON,logo:



derivando MN,em relaçao a x, e igualando a zero,encontraremos o valor de x=f(a,b).esse sera o valor minimo ou valor maximo de MN.
verificaremos calculando a derivada segunda de MN,e verificando seu valor,que no caso deva ser positivo para qquer a e b,
mostrando ser ponto de minimo.entao aos interessados,termine-o...é calculo "pacas",mas compensa como exercicio e preparaçao...