Os pontos de intersecção M,N,P,Q,R das diagonais determinam um segundo pentágono regular.Estudando a relação entre os dois pentágonos, os matemáticos da escola Pitagórica determinaram importantes propriedades,como já exposto anteriormente .Vamos mostrar que a razão entre a diagonal ( D ) e o lado ( L ) do pentágono é o numero de ouro.
Para , isto precisamos mostrar dois resultados:
1° - Os GAP e JGI são semelhantes.
2° - Os segmentos IP = GA = L
Do resultado 1 , obtemos a seguinte relação de proporcionalidade:
Observa-se que:
GA = JI = L
JG = D
GP = GI – IP = D – L
Ou seja : substituindo em temos:
como conseqüência , resulta: L² = D² - DL representando D/L = x ,para obtermos L² = (xL)² - xLL --> L² = x²L² - xL² --> 1 = x² - x --> x² - x -1 = 0 obtemos como raiz válida
![\frac{1+\sqrt[2]{5}}{2}](/latexrender/pictures/9857995b1526d7dad3693048a85a1cae.png "\frac{1+\sqrt[2]{5}}{2}")
Provamos assim que D/L = é o numero áureo .
por ![\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}](/latexrender/pictures/981987c7bcdf9f8f498ca4605785636a.png "\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}")
![\sqrt[]{2}](/latexrender/pictures/f21662d1cabab6e8b273a4b6f1cd663a.png "\sqrt[]{2}")
e elevar ao quadrado os dois lados)