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Última mensagem por Janayna
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por Laryssa Rafaella » Sáb Mai 28, 2011 22:04
01- Calcule o volume de um prisma regular hexagonal de altura igual a 8 cm, sabendo que a área total de sua superfície é o triplo da área lateral. Gab.: 4096
cm³.
Resolução:
Por se tratar de um prisma hexagonal sua base é composta de 6 triângulos equiláteros. Dessa forma, a área lateral é 6 vezes a área de um retângulo (base x altura) resultando em 48b (6.b.8) e a área da base é
.
Assim, é substituído tanto a área da base quanto a área lateral na fórmula da área total. Lembrando que a área total é igual 3 vezes a área lateral.
Atotal = Alateral + 2.Abase
3.48b = 48b + 2.
144b = 48b +
-> simplificando fica
144b - 48b =
b =
b =
cm
Após encontrar o valor de b, substitui-se o valor de "b" na área lateral:
Alateral = 48b
Alateral =
Alateral =
-> simplificando fica igual à...
Alateral =
cm²
Isso mostra que a área lateral desse hexágono é igual a área da base do mesmo.
Para encontrar o valor de "l" iguala-se a área da base, à área lateral.
=
-> simplifica 2 com 2 e 3 com 3.
l² =
l =
-> simplifica os radicais.
l = 3 cm
Agora substitui o valor de "l" na fórmula do volume:
V = Abase.h
V =
.8
V =
.8
V =
.8
V =
.8
V =
V = 108
cm³
Já refiz várias vezes e sempre encontro esse valor. Não sei onde errei ou se o gabarito está errado. Preciso de ajuda com esse exercício, por favor!
Obrigada e parabéns pelo forúm!
Laryssa Rafaella Santos
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Laryssa Rafaella
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por carlosalesouza » Dom Mai 29, 2011 03:47
Vamos do zero...
A área lateral está correta... 48b...
Vamos verificar a área da base hexagonal...
A área de um hexágono é a metade do produto do apótema pelo perímetro... sendo o apótema a altura de qualquer dos triângulos equiláteros que o formam...
assim, sendo os triângulos equiláteros, o apótema os divide em dois triângulos retângulos, com hipotenusa igual ao dobro da base... então, o apótema é dado por:
Então, sendo o perímetro igual a 6b, a área é:
Agora, veja bem, a área total da superfície é a soma da área lateral com as duas bases hexagonais... como a área total é o triplo da área lateral e os dois hexágonos são iguais, logo, os hexágonos têm a mesma área que os seis retângulos da lateral....
Então:
Quer dizer que b=0 (o que é falso) ou:
Sendo este o valor de b e sendo a área lateral igual a área da base, então a área da base, que é 48b será:
Agora, para encontrar o volume, basta multiplicar a área da base pela altura:
Ok?
Um abraço
Carlos Alexandre
Ciências Contábeis - FECEA/PR
Matemática - UEPG/PR
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carlosalesouza
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Assunto:
Taxa de variação
Autor:
felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44
Como resolvo uma questao desse tipo:
Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?
A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é
Alguem me ajuda? Agradeço desde já.
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47
V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3
V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³
Derivando:
dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3
Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17
Temos que o volume é dado por:
Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:
Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:
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