Demonstração envolvendo vetores

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Demonstração envolvendo vetores

Mensagempor VFernandes » Seg Mar 07, 2011 00:59

Olá amigos,
Não estou conseguindo resolver o seguinte exercício:
(Na minha notação, negrito quer dizer que trata-se de um vetor, ou seja, tem uma setinha em cima)

Num triângulo ABC é dado X sobre AB tal que ||AB||=2||XB|| e é dado Y sobre BC tal que ||BY||=3||YC||. Mostre que as retas CX e AY são concorrentes.
Sugestão: suponha que CX=\lambdaAY e deduza uma contradição.

O que eu fiz:
CX=\lambdaAY
BX - BC = \lambda(AB + BY)
BX - BC = \lambdaAB + \lambdaBY
-XB - BC = 3\lambdaXB + 3/4\lambdaBC
XB(3\lambda+1) + BC(3/4\lambda + 1) = 0

Não consegui pensar em mais nada além disso e não sei até que ponto isso é uma contradição... (seria porque, como ABC é, por hipótese, um triângulo, XB e BC não poderiam ser paralelos, já que X pertence a AB e AB é um dos lados adjacentes ao lado BC.)

Alguém teria alguma luz?
VFernandes
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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