Geometria Plana FUVEST

por **vyhonda** » Dom Dez 05, 2010 19:32

(FUVEST) Seja AB um diâmetro de uma circunferência de raio r e C um ponto genérico da circunferência. Determinar a área do triângulo ABC em função do ângulo ABC= $\beta$ e do raio r. Para que valor de $\beta$ essa área é a maior possível?

Resp: ${r}^{2} sen 2\beta$ e $\beta$ = 45º

Procurei a resolução dessa prova da fudest, mas nem encontrei o ano que caiu a questão,

valeu pela ajuda

por **fttofolo** » Seg Dez 06, 2010 09:41

Primeiro o triângulo ABC é retângulo em C. (definição)
Para que a área do triângulo ABC, seja a maior possível, a atura relativa a hipotenusa tem que ser a maior possível (vide figura). A maior altura, será h=r.

: imagem.JPG (9.9 KiB) Exibido 3700 vezes

Temos que $90°+\beta+\beta=180°$
$2\beta=180°-90°$
$\beta=45°$

Agora escrevendo a área em função de $\beta$ e r
sen $\beta$ = $\frac{AC}{AB}$
$AC=AB.sen\beta$
$AC=2.r.sen\beta$

cos $\beta$ = $\frac{BC}{AB}$
$BC=AB.cos\beta$

A área do triângulo é:
$A=\frac{BC.AC}{2}$
$A=\frac{2.r.cos\beta.2.r.sen\beta}{2}$
$A={r}^{2}.2.cos\beta.sen\beta$
$A={r}^{2}.sen2\beta$

Lembrando que sen2x=2senx.cosx

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