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por Gustavo Gomes » Seg Fev 03, 2014 22:37
Olá, pessoal!
No triângulo ABC abaixo, os pontos P e Q dividem o lado AB em três partes iguais, e os segmentos PP' e QQ' são paralelos ao lado BC.
Se a área do triângulo ABC é igual a 540 cm^2, qual a área do quadrilátero PP'Q'Q?
![imagem.PNG](./download/file.php?id=1984&sid=619a833ffb4d5b4cbd49531880cab196)
- imagem.PNG (9.47 KiB) Exibido 2019 vezes
A resposta é 180 cm^2.
Tentei atribuir medidas ao triângulo ABC, de acordo com sua área, mas estou com dificuldade para definir as medidas de PP' e QQ'.
Grato.
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Gustavo Gomes
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por young_jedi » Ter Fev 04, 2014 15:30
por semelhaça de trianglos teremos que
a altura H, de ABC e a altura h de AQQ' serão relacionadas por
![\frac{H}{h}=\frac{3}{2} \frac{H}{h}=\frac{3}{2}](/latexrender/pictures/8e9445a156baaf24c3d3ce9d3f1fe02b.png)
![h=\frac{2H}{3} h=\frac{2H}{3}](/latexrender/pictures/493964275733e90465b5e57cdb9153bd.png)
e tambem temos que
![\frac{AB}{QQ'}=\frac{3}{2} \frac{AB}{QQ'}=\frac{3}{2}](/latexrender/pictures/0c2f06ea7bfde2454c86a922aacfde00.png)
portanto a
area do triangulo AQQ' sera
![=\frac{1}{3}.\frac{2H}{3}.\frac{2.AB}{3} =\frac{1}{3}.\frac{2H}{3}.\frac{2.AB}{3}](/latexrender/pictures/d29b8bfd449f5d2e784f9d3e39afbd05.png)
![=\frac{4}{9}.\frac{H.AB}{3} =\frac{4}{9}.\frac{H.AB}{3}](/latexrender/pictures/3794db6bd2873074d4e9c8528af364a9.png)
mais
![\frac{H.AB}{3}=540 \frac{H.AB}{3}=540](/latexrender/pictures/c9aa97abf684324dd4664b375758854b.png)
é a
area do triangulo ABC
então
![\frac{4}{9}.\frac{H.AB}{3}=\frac{4}{9}.540=240 \frac{4}{9}.\frac{H.AB}{3}=\frac{4}{9}.540=240](/latexrender/pictures/3b94f1c6652f36c4a35e7cbdb07c0393.png)
para o trinagulo APP' teremos que
por semelhaça
a altura H, de ABC e a altura h2 de AQQ' serão relacionadas por
![\frac{H}{h_2}=\frac{3}{1} \frac{H}{h_2}=\frac{3}{1}](/latexrender/pictures/dfe4eee6169e1d2348ba86aae845c9ef.png)
![h_2=\frac{H}{3} h_2=\frac{H}{3}](/latexrender/pictures/c721638cfab427c4d0dae743571a98e3.png)
e tambem temos que
![\frac{AB}{PP'}=\frac{3}{1} \frac{AB}{PP'}=\frac{3}{1}](/latexrender/pictures/27624f4173d770fc5f9710af4dd28aca.png)
portanto a
area do triangulo APP' sera
![=\frac{1}{3}.\frac{H}{3}.\frac{AB}{3} =\frac{1}{3}.\frac{H}{3}.\frac{AB}{3}](/latexrender/pictures/6c9b216f3dbafe089c8a926f7c68c761.png)
![=\frac{1}{9}.\frac{H.AB}{3} =\frac{1}{9}.\frac{H.AB}{3}](/latexrender/pictures/ff66f7f868bab282a3e477e495b78e0a.png)
![\frac{1}{9}.\frac{H.AB}{3}=\frac{1}{9}.540=60 \frac{1}{9}.\frac{H.AB}{3}=\frac{1}{9}.540=60](/latexrender/pictures/6a42e201fa59734ba27c8734dc367228.png)
a
area do quadrialtero PP'QQ' sera
![\Delta AQQ'-\Delta APP'=240-60=180 \Delta AQQ'-\Delta APP'=240-60=180](/latexrender/pictures/935ececd208deeecad59dd4827bfe4f0.png)
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young_jedi
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Sex Out 10, 2014 10:22
Geometria Plana
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Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46
Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25
POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?
P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50
P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25
P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833
4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3
SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37
utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24
Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.
Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45
Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23
Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18
Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40
Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias
44242:7 = 6320 + resto 2
è assim, nâo sei mais sair disso.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24
que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43
Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:
De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.
De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.
De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.
Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.
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