[volume do cubo] Soma dos volumes das infinitas caixas

por **Priscilamoraes307** » Sex Ago 10, 2012 23:14

Considere a seguinte figura que mostra uma sequência de quadrados, em que o lado L do primeiro é o dobro do lado do segundo; o lado do segundo é o dobro do lado do terceiro e assim indefinidamente.
Esses quadrados representam as bases de caixas retangulares, todas com 1 m de altura.

Nessas condições, é CORRETO afirmar que a soma S dos volumes de todas essas infinitas caixas é
A) infinita.
B) um número finito, porém muito grande.
C) um número entre 2L2 e 3L2.
D) um número entre L2 e 2L2.

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por **MarceloFantini** » Sáb Ago 11, 2012 00:28

Sim, você deve.

por **Russman** » Sáb Ago 11, 2012 16:08

O volume da

-ésima caixa é dado por

V_n=L_n^3

.

Para

temos

. Para

, temos

. Para

, temos

. Assim, sucessivamente. Portanto, podemos supor que

$L_n = L\left( \frac{1}{2}\right)^{(n-1)}$

e, disso,

$V_n = L^3\left( \frac{1}{8}\right)^{(n-1)}$ .

Esta é uma P.G. de razão 1/8<1

e primeiro termo L^3

. Logo, efetuando a soma infinita de seus termos, obtemos

$S = \frac{L^3}{1-\frac{1}{8}} = \frac{8}{7}L^3$ .

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