[Geometria] Pirâmide

por **rola09** » Dom Mar 18, 2012 13:40

Já tenho algumas respondidas mas deixo aqui o exercício completo para confirmar e pedir ajuda nas restantes.

Num referencial ortonormado está representado uma pirâmide reta, quadrangular regular de vértice V (3,3,0) e base [ABCD].

- A altura da pirâmide é de 2,5 cm
- A base da pirâmide é paralela ao plano XOY
- O vértice D pertence ao eixo OZ
- O vértice A pertence ao plano XOZ

(um pouco mal desenhado mas dá para perceber)
Imagem

1 - Identifique as coordenadas dos pontos D, B, C e A.
D (0;0;2,5) C (0;6;2,5)
B (6;6;2,5) A (6;0;2,5)

2 - Escreva a equação do plano ABV.
Sabendo que a equação do plano é dada por: ax+by+cz+d=0

Para determinar a equação temos que descobrir o vetor. É isso certo?

3 - Calcule A $\hat{V}$ B (em graus e minutos).
Aqui a única coisa que sei é AB=6 certo?
Tenho algumas dúvidas aqui.

4 - Determine o volume da pirâmide.
$V = \frac{1}{3}.Ab.h$
$\B{A}_{\Box}= l.l$

$\B{A}_{\Box}= 6*6\Leftrightarrow36 cm$

$V=\frac{36*2,5}{3}\Leftrightarrow30{cm}^{3}$

por **LuizAquino** » Dom Mar 18, 2012 20:22

rola09 escreveu:Já tenho algumas respondidas mas deixo aqui o exercício completo para confirmar e pedir ajuda nas restantes.

Num referencial ortonormado está representado uma pirâmide reta, quadrangular regular de vértice V (3,3,0) e base [ABCD].

- A altura da pirâmide é de 2,5 cm
- A base da pirâmide é paralela ao plano XOY
- O vértice D pertence ao eixo OZ
- O vértice A pertence ao plano XOZ

(um pouco mal desenhado mas dá para perceber)

Tri_ngulo.jpg (3.41 KiB) Exibido 2751 vezes

Na sua figura está faltando apenas o segmento DV.

rola09 escreveu:1 - Identifique as coordenadas dos pontos D, B, C e A.
D (0;0;2,5) C (0;6;2,5)
B (6;6;2,5) A (6;0;2,5)

Ok.

rola09 escreveu:2 - Escreva a equação do plano ABV.
Sabendo que a equação do plano é dada por:
Para determinar a equação temos que descobrir o vetor. É isso certo?

Esse é um caminho: descobrir o vetor normal ao plano.

Para descobrir o vetor normal ao plano, você pode calcular o produto vetorial:

$\overrightarrow{VA} \times \overrightarrow{VB}$

Lembre-se que:

$\overrightarrow{VA} = A - V = (6;\, 0;\, 2,5) - (3;\, 3;\, 0) = (3;\, -3;\, 2,5)$

$\overrightarrow{VB} = B - V = (6;\, 6;\, 2,5) - (3;\, 3;\, 0) = (3;\, 3;\, 2,5)$

$\overrightarrow{VA} \times \overrightarrow{VB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -3 & 2,5 \\ 3 & 3 & 2,5\end{vmatrix}$

Agora termine a partir daí.

rola09 escreveu:3 - Calcule A $\hat{V}$ B (em graus e minutos).
Aqui a única coisa que sei é AB=6 certo?
Tenho algumas dúvidas aqui.

Para calcular o ângulo $A\hat{V}B$ , use a relação abaixo:

$\cos A\hat{V}B = \dfrac{\overrightarrow{VA}\cdot \overrightarrow{VB}}{\left\|\overrightarrow{VA}\right\|\left\|\overrightarrow{VB}\right\|}$

Lembrando que $\overrightarrow{VA}$ e $\overrightarrow{VB}$ você já calculou no quesito anterior.

Agora termine a partir daí.

rola09 escreveu:4 - Determine o volume da pirâmide.
$V = \frac{1}{3}.Ab.h$
$\B{A}_{\Box}= l.l$

$\B{A}_{\Box}= 6*6\Leftrightarrow36 cm$

$V=\frac{36*2,5}{3}\Leftrightarrow30{cm}^{3}$

Ok.

por **rola09** » Dom Mar 18, 2012 21:34

LuizAquino escreveu:
rola09 escreveu:3 - Calcule A $\hat{V}$ B (em graus e minutos).
Aqui a única coisa que sei é AB=6 certo?
Tenho algumas dúvidas aqui.

Para calcular o ângulo $A\hat{V}B$ , use a relação abaixo:

$\cos A\hat{V}B = \dfrac{\overrightarrow{VA}\cdot \overrightarrow{VB}}{\left\|\overrightarrow{VA}\right\|\left\|\overrightarrow{VB}\right\|}$

Lembrando que $\overrightarrow{VA}$ e $\overrightarrow{VB}$ você já calculou no quesito anterior.

Agora termine a partir daí.

Será isto:
$\left|\left|\overrightarrow{VA}\right| \right|=\left|\left|\left(3;-3;2,5) \right) \right| \right|=\sqrt{...}$
$\left|\left|\overrightarrow{VB}\right| \right|=\left|\left|\left(3;3;2,5) \right) \right| \right|=\sqrt{...}$

$cos\alpha=\frac{\left|3\times 3+\left(-3 \right)\times 3+2,5\times 2,5 \right|}{\sqrt{...}\times \sqrt{...}}=\frac{6,25}{\sqrt{...}}\Leftrightarrow \alpha={cos}^{-1}\left(\frac{6,25}{\sqrt{...}} \right)\simeq$

LuizAquino escreveu:
rola09 escreveu:2 - Escreva a equação do plano ABV.
Sabendo que a equação do plano é dada por:
Para determinar a equação temos que descobrir o vetor. É isso certo?

Esse é um caminho: descobrir o vetor normal ao plano.

Para descobrir o vetor normal ao plano, você pode calcular o produto vetorial:

$\overrightarrow{VA} \times \overrightarrow{VB}$

Lembre-se que:

$\overrightarrow{VA} = A - V = (6;\, 0;\, 2,5) - (3;\, 3;\, 0) = (3;\, -3;\, 2,5)$

$\overrightarrow{VB} = B - V = (6;\, 6;\, 2,5) - (3;\, 3;\, 0) = (3;\, 3;\, 2,5)$

$\overrightarrow{VA} \times \overrightarrow{VB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -3 & 2,5 \\ 3 & 3 & 2,5\end{vmatrix}$

Agora termine a partir daí.

Em relação a este, não estou a perceber como fazer, mas penso que já deva estar saturado com tanta pergunta.

por **LuizAquino** » Dom Mar 18, 2012 21:53

rola09 escreveu:
LuizAquino escreveu:
Para calcular o ângulo $A\hat{V}B$ , use a relação abaixo:

$\cos A\hat{V}B = \dfrac{\overrightarrow{VA}\cdot \overrightarrow{VB}}{\left\|\overrightarrow{VA}\right\|\left\|\overrightarrow{VB}\right\|}$

Lembrando que $\overrightarrow{VA}$ e $\overrightarrow{VB}$ você já calculou no quesito anterior.

Agora termine a partir daí.

Será isto:
$\left|\left|\overrightarrow{VA}\right| \right|=\left|\left|\left(3;-3;2,5) \right) \right| \right|=\sqrt{...}$
$\left|\left|\overrightarrow{VB}\right| \right|=\left|\left|\left(3;3;2,5) \right) \right| \right|=\sqrt{...}$

$cos\alpha=\frac{\left|3\times 3+\left(-3 \right)\times 3+2,5\times 2,5 \right|}{\sqrt{...}\times \sqrt{...}}=\frac{6,25}{\sqrt{...}}\Leftrightarrow \alpha={cos}^{-1}\left(\frac{6,25}{\sqrt{...}} \right)\simeq$

É por aí. Lembrando que as reticências (isto é, "...") serão substituídas pelos cálculos adequados.

rola09 escreveu:
LuizAquino escreveu:Esse é um caminho: descobrir o vetor normal ao plano.

Para descobrir o vetor normal ao plano, você pode calcular o produto vetorial:

$\overrightarrow{VA} \times \overrightarrow{VB}$

Lembre-se que:

$\overrightarrow{VA} = A - V = (6;\, 0;\, 2,5) - (3;\, 3;\, 0) = (3;\, -3;\, 2,5)$

$\overrightarrow{VB} = B - V = (6;\, 6;\, 2,5) - (3;\, 3;\, 0) = (3;\, 3;\, 2,5)$

$\overrightarrow{VA} \times \overrightarrow{VB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -3 & 2,5 \\ 3 & 3 & 2,5\end{vmatrix}$

Agora termine a partir daí.

Em relação a este, não estou a perceber como fazer, mas penso que já deva estar saturado com tanta pergunta.

Você sabe calcular o determinante de uma matriz?

Após calcular o determinante da matriz acima, você irá encontrar uma resposta do tipo:

$\overrightarrow{VA} \times \overrightarrow{VB} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}$

Ou seja, você terá que o vetor normal ao plano será:

$\overrightarrow{VA} \times \overrightarrow{VB} = (a;\, b;\, c)$

A partir disso, escolhendo um ponto pelo qual o plano irá passar (por exemplo, V = (3; 3; 0)), você pode montar a equação do plano através de:

a(x - 3) + b(y - 3) + c(z - 0) = 0

por **rola09** » Dom Mar 18, 2012 22:51

Eu não estudo matemática à uns anos e estou a agora a tentar estudar para fazer um exame para terminar a minha escolaridade.
Não me lembro de muita coisa e devido à minha profissão tenho que me sujeitar a estudar sozinho.

Coloquei as reticências porque ainda não consegui chegar aos cálculos corretos dessas raizes.
Mais uma vez quero agradecer a atenção que tem tido e pedir desculpa por qualquer inconveniente

por **LuizAquino** » Seg Mar 19, 2012 00:18

rola09 escreveu:Eu não estudo matemática à uns anos e estou a agora a tentar estudar para fazer um exame para terminar a minha escolaridade.
Não me lembro de muita coisa e devido à minha profissão tenho que me sujeitar a estudar sozinho.

Coloquei as reticências porque ainda não consegui chegar aos cálculos corretos dessas raizes.
Mais uma vez quero agradecer a atenção que tem tido e pedir desculpa por qualquer inconveniente

Você não tem que pedir desculpa. Não há inconveniente algum.

Quanto as raízes, o correto é:

$\left|\left|\overrightarrow{VA}\right| \right|=\left|\left|\left(3;-3;2,5) \right) \right| \right|=\sqrt{3^2 + (-3)^2 + 2,5^2} = \sqrt{24,25}$

$\left|\left|\overrightarrow{VB}\right| \right|=\left|\left|\left(3;3;2,5) \right) \right| \right|=\sqrt{3^2 + 3^2 + 2,5^2} = \sqrt{24,25}$

Quanto ao determinante da matriz, eu recomendo que você assista a seguinte videoaula do Nerckie: "Matemática - Aula 20 - Determinantes". Essa videoaula está disponível no canal dele no YouTube:

http://www.youtube.com/nerckie

Após assistir a videoaula, tente calcular o determinante. Se tiver alguma dúvida, volte a postar aqui.