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Esfera e cone

Esfera e cone

Mensagempor Ananda » Sex Abr 04, 2008 15:21

Boa tarde!

Eis o exercício:

Numa festa de aniversário, o vinho foi servido em taças de cristal de forma cônica. A abertura das taças é de 4cm de raio interno com profundidade de 12 cm. A pérola do colar de uma das convidadas da festa deslocou-se e foi cair dentro de uma taça. Se a pérola tem formato esférico de 1 cm de raio, qual a menor distância, em centímetros, da pérola em relação ao fundo da taça?

Resposta: \sqrt[]{10}-1

Eu pensei em usar a relação de semelhança, compararando a área dos cilindros, mas com isso obtive como resposta 3 cm e subtraindo mais 1 cm do raio da esfera (parte debaixo) deu 2 cm.

Tentei fazer outro exercício de mesmo modelo e também não consegui obter a resposta certa.

Gostaria de saber se meu raciocínio está errado desde o início ou se esqueci de algum detalhe.

Grata desde já!
Ananda
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Re: Esfera e cone

Mensagempor admin » Sex Abr 04, 2008 15:50

Olá Ananda, boa tarde!

Você pode fazer usando relação de semelhança sim e depois teorema de Pitágoras.

Melhor do que pensar em cilindros é simplificar reduzindo o problema para duas dimensões:

Faça uma seção meridiana no cone da taça.
Agora você terá um triângulo e uma circunferência.
Divida o triângulo pelo eixo de sua altura, você terá dois triângulos retângulos.

Na parte inferior, onde está a circunferência, una o centro aos outros catetos pelos raios.
Logo, você terá outros dois triângulos retângulos pequenos que são semelhantes aos maiores pelo caso AA (ângulo reto correspondente e ângulo comum).
Um cateto é o raio de medida 1, o outro você encontra por semelhança.
Depois, Pitágoras, sendo a hipotenusa x+1, onde x é a distância pedida.
Termina com uma equação de segundo grau.

Espero ter ajudado!
Até mais. Bom final de semana!
Fábio Sousa
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Re: Esfera e cone

Mensagempor Ananda » Sex Abr 04, 2008 15:55

Epa, escrevi errado haha
É esfera e cone... rs
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Re: Esfera e cone

Mensagempor Ananda » Sex Abr 04, 2008 16:12

Grata, Fábio!

Consegui entender e resolver!

Ótimo final de semana!

Ah, arruma o nome do tópico e meu primeiro post?

Grata
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Re: Esfera e cone

Mensagempor admin » Sex Abr 04, 2008 17:49

OK, Ananda!
Que bom!

Apenas para completar, segue a imagem da seção meridiana comentada:
secao_meridiana_cone.jpg
secao_meridiana_cone.jpg (10.32 KiB) Exibido 8719 vezes


Até mais!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}