Cone (ITA - SP)

por **Ananda** » Ter Fev 26, 2008 20:07

Boa noite!
Eis o exercício:
Num cone circular reto, a altura é a média geométrica entre o raio da base e a geratriz. A razão entre a altura e o raio da base é:
Resposta: $\sqrt[]{\frac{\sqrt[]{5}+1}{2}}$

Bom, eu deixei só r e g, depois só h e r, mas não consegui "cortar" nada.
Cheguei a:
$h=\sqrt[]{r.g}$ (média geométrica)
Daí, como ele é um cone circular reto, g^2=h^2+r^2

primeiro deu: r.g=g²-r²
$r=\frac{g^2-r^2}{g}$

$\frac{h}{r}= \frac{\sqrt[]{g^2-r^2}}{\frac{g^2-r^2}{g}}$ (Provavelmente há um modo de "cortar", mas meu cérebro não me ajudou ainda).

depois deu:
h²=r.g
$g=\frac{h^2}{r}$

$\frac{{h}^{4}}{r^2}=h^2+r^2$ (Aqui achei que dará mais trabalho do que o anterior, já que tem raiz quarta).

Quem sabe até amanhã eu consiga um resultado!
Grata desde já!

por **admin** » Qua Fev 27, 2008 02:04

Boa noite, Ananda!

Exercício típico do ITA. Com um enunciado simples, cobra vários conceitos.
Fiz no papel, mas como você ainda está tentando, vou fazer alguns comentários.

As relações que você encontrou estão certas, mas o que falta é expressar a geratriz em função de algum ângulo e do raio.

Há várias formas de se chegar ao resultado.

Considere este triângulo:

: cone.jpg (9.47 KiB) Exibido 9928 vezes

Como $h = \sqrt{rg}$ , repare que $\frac{h}{r}$ é a tangente de $\alpha$ , a razão entre a altura e o raio da base, conforme diz o enunciado.
Então, uma forma de continuar seria pensar neste sub-problema: encontrar o ângulo $\alpha$ .
Eu tentei por este caminho, mas constatei que devemos já buscar a $tg \alpha$ , pois podemos encontrar $sen\alpha$ e $cos\alpha$ .

Como $tg \alpha = \frac{sen\alpha}{cos\alpha}$ , então, o problema estará resolvido.

As dicas para você continuar são as seguintes:

Utilize a Lei dos Senos para expressar

em função de

e de $\alpha$ .
Em seguida, após substituir em uma das expressões da geratriz, por exemplo, esta: rg + r^2 = g^2

, poderá cancelar o raio e fazer uma substituição de variáveis para ter uma equação do segundo grau.

Justifique a eliminação de uma das soluções da equação do segundo grau, dependendo da escolha que fez anteriormente, por seno ou cosseno.

Depois, através da relação fundamental da trigometria, se escolheu seno, deverá encontrar o cosseno, ou vice-versa.
Por fim, calcule a tangente.

Você também pode substituir

na expressão de $\frac{h}{r}$ que escreveu.

Ananda, depois comente o seu progresso ou alguma nova dúvida, para que eu possa enfatizar algum detalhe ao postar uma resolução completa.
Até mais.

por **Ananda** » Qua Fev 27, 2008 12:02

Oi!
Ufa! Consegui!
Como falaste, escrevi g em função de r e $\alpha$ , utilizando a Lei dos Senos:

$g=\frac{r}{cos\alpha}$

$r=g.cos\alpha$

Daí, substituindo em: ${g}^{2}={r}^{2}+rg$
${(g.cos\alpha)}^{2}+g(g.cos\alpha)-{g}^{2}=0$

${g}^{2}({cos}^{2}\alpha+cos\alpha-1)=0$

${cos}^{2}\alpha+cos\alpha-1=0$

$cos\alpha=\frac{-1\pm\sqrt[]{5}}{2}$

Daí, como $\alpha+\beta={90}^{0}$

O cosseno de $\alpha$ tem que ser positivo, logo é igual a: $\frac{-1+\sqrt[]{5}}{2}$
Para achar o seno:

$sen\alpha=\sqrt[]{1-{\left(\frac{\sqrt[]{5}-1}{2} \right)}^{2}}$

$sen\alpha=\sqrt[]{\frac{\sqrt[]{5}-1}{2}}$

Daí,
$tg\alpha=\frac{sen\alpha}{cos\alpha}$

Eu preferi elevar tudo ao quadrado para ficar mais fácil, daí deu:

${tg}^{2}\alpha=\frac{2}{\sqrt[]{5}-1}$

$tg\alpha=\sqrt[]{\frac{2}{\sqrt[]{5}-1}}$

Daí, depois de racionalizar:

$tg\alpha=\frac{h}{r}=\sqrt[]{\frac{\sqrt[]{5}+1}{2}}$

Fiz certo?
Grata mesmo pela ajuda!

P.S.: Sobre os expoentes, eu percebi só hoje hahaha Grata!

por **admin** » Qua Fev 27, 2008 13:08

Olá Ananda!

Você fez certo sim, parabéns!
Eu só devo fazer duas ressalvas:

1) Como eu disse, há várias formas de chegar ao resultado.

Eu sugeri para você escrever

em função de

e $\alpha$ , usando a Lei dos Senos, para depois cancelar o raio.
De fato, você escreveu

em função de

e $\alpha$ e depois cancelou a geratriz.

Está certo da mesma forma, apenas cuidado:

ficou em função de

e $\alpha$ .

2) Sobre a justificativa para eliminar uma solução da equação do segundo grau, considero o seguinte argumento mais evidente para quem ler:
No triângulo retângulo da figura, $0 < \alpha < 90^\circ$ .
O que implica que (observe no círculo trigonométrico): $1 > cos\alpha > 0$ .
Portanto, $cos \alpha > 0$ .

Ananda, considero o problema resolvido por você!

Caso alguém tenha dúvidas em algum detalhe da resolução, ou tenha encontrado dificuldade em outro caminho, comente conosco.

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