Cilindro (MAUÁ - SP)

por **Ananda** » Seg Fev 25, 2008 18:24

Olá!
Bom o exercício é o seguinte:
Um cilindro circular reto, de raio R e altura h = 2R, é cortado por um plano paralelo ao seu eixo. Sendo R/2 a distância do eixo ao plano secante, calcule o volume do menor segmento cilíndrico resultante desta secção.
Resposta: $\frac{R^3(4\pi-3\sqrt[]{3)}}{6}$

Bom, eu entendi que é um cilindro circular reto eqüilátero, já que a altura é o dobro do raio. E para mim, o menor segmento cilíndrico é a figura sobre o plano. E como volume é área da base multiplicada pela altura, entendi que a área da base seria a área desse segmento cilíndrico (que não consegui calcular) multiplicada pela altura do cilindro, que no caso é 2R.
Para mim, a altura do segmento cilíndrico é R/2, mas não consegui achar o raio. Pela resposta, acredito que é preciso usar trigonometria. Mas não consegui associá-los.
Espero tua resposta.
Grata desde já pela atenção.

por **admin** » Ter Fev 26, 2008 00:19

Olá Ananda!

Acho importante começarmos discutindo um plano para resolução que servirá como referência para outros problemas.
Pede-se para calcular o volume do segmento cilíndrico que é reto.
Aqui, o termo "reto" nos diz que o ângulo entre a base circular e a prolongação do cilindro é de $90^\circ$ .

Pois bem, a chave para a resolução é partir dos conceitos mais elementares.
Não queira resolver o exercício diretamente.
Inicie o raciocício pelo que se pede e em seguida, tente construir os passos anteriores que levam até lá.

Vamos nomear alguns pontos no círculo base para facilitar a identificação.
Veja:

: circulo.jpg (10.86 KiB) Exibido 9565 vezes

Considerando o conceito elementar de volume do segmento de interesse, o que precisamos?
Como é reto, apenas precisamos da área da base deste sólido superior, pois o comprimento já temos.
Depois então, calculamos o volume com o produto área da base pelo comprimento que é

.

Identificando esta base:
Veja que a base deste sólido é ABC

, precisamos calcular esta área.
Considere que você tem um sub-problema agora.

Como calcular esta área ABC

?
A idéia é calcular áreas de regiões mais simples e obter esta por diferença.
Por exemplo, é fácil calcular a área do região OABC

.
Após, repare que se subtraírmos a área do triângulo OAC

, obteremos a área da região que queremos ABC

. Vamos fazer assim!

Antes, precisamos daquele ângulo $\alpha$ .
E para obtê-lo, vamos calcular

, por Pitágoras.

$R^2 = \left( \frac{R}{2} \right) ^2 + c^2$

$R^2 - \frac{R^2}{4} = c^2$

$c^2 = \frac{3R^2}{4}$

$c = \frac{ \sqrt{3}}{2}R$

E para $\alpha$ , utilizaremos seno:

$sen\alpha = \frac{c}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\alpha = 60^\circ$

Agora, vamos voltar para nosso plano.
Calculando a área da região OABC

:

Podemos fazer uma regra de três.
$\left\{ \begin{matrix} 360^\circ & \pi R^2 \\ 120^\circ & A_{OABC} \end{matrix} \right.$

$A_{OABC} = \frac{120^\circ \cdot \pi R^2}{360^\circ}$

$A_{OABC} = \frac{\pi R^2}{3}$

Pronto, mais um passo.
Na seqüência, a área do triângulo OAC

:

$A_{OAC} = \frac{R}{2} \cdot c = \frac{R}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}R = \frac{R^2\sqrt{3}}{4}$

Agora que já temos as áreas intermediárias que precisávamos, vamos enfim obter a área da região ABC

:
$A_{ABC} = A_{OABC} - A_{OAC}$

$A_{ABC} = \frac{\pi R^2}{3} - \frac{R^2 \sqrt{3}}{4}$

$A_{ABC} = R^2 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$

E finalmente, o volume que precisamos:

$V = A_{ABC} \cdot 2R$

$V = R^2 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) \cdot 2R$

$V = 2R^3 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$

$V = R^3 \left( \frac{2\pi}{3} - \frac{\cancel{2}\sqrt{3}}{\cancel{4}{2}} \right)$

$V = R^3 \left( \frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{6} \right)$

Ananda, resumindo, não se preocupe em querer resolver os problemas de uma só vez, ou, se não conseguir construir imediatamente um caminho para a resolução.
Lembre-se: comece procurando "algo" que falta para se obter a resposta. Em seguida, perceberá que para antes conseguir este "algo", precisará calcular um "algo2" etc. Assim, você construirá os passos que levarão à resolução final.

Espero ter ajudado!
Bons estudos.

por **Ananda** » Ter Fev 26, 2008 12:42

Olá!
Ajudaste sim!
Grata pelas dicas!
Até mais!

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