Olá.
O primeiro passo é notar bem a classificação citada do prisma.
Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.
Um
prisma triangular possui triângulos como bases.
E um
prisma regular é um prisma reto cujas bases são poligonais regulares, portanto, os triângulos das bases são equiláteros.
É fundamental extrair esta informação de que as bases são triângulos equiláteros.
Sem ela, não conseguimos resolver o problema.
Antes de continuarmos as etapas, vale notar o seguinte.
Queremos calcular
, mas como o
é equilátero e os pontos
e
são médios respectivamente dos segmentos
e
, temos que:
e ainda
Então, agora vamos focar as contas na pirâmide
, pois já temos
relacionado em suas arestas.
Em seguida, trace a altura do
em relação à base
.
Chamemos de
a intersercção entre esta altura e
.
Como a face
está contida no plano
, segue que o ângulo PÔA =
.
Também, por hipótese, sabemos que PÂO é reto.
Vamos especificar a medida do segmento
.
É a altura de um triângulo equilátero, então:
Encontrando a medida da altura
da pirâmide:
Considere o
.
Podemos extrair que:
E por fim, utilizaremos então o dado do
volume da pirâmide:
O
volume da pirâmide APMN é um terço do produto entre a área da base
e a altura
.
(de fato, alternativa D)
Curiosidade: apenas como um exercício de visualização espacial, repare que rebaixando a base superior do prisma, até o ponto P, o prisma menor resultante comporta exatamente 6 pirâmides APMN encaixadas em seu interior!
Espero ter ajudado!