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Última mensagem por Janayna
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por Ananda » Sex Fev 22, 2008 19:49
Olá, gostaria de ajuda com esse exercício:
Na figura, PMN é a secção do prisma reto, triangular e regular, com um plano que faz 60º com sua base. Se M e N são pontos médios das arestas AC e AB, respectivamente, e se o volume do sólido assinalado é , então K mede:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Segundo o livro, a alternativa correta é a D.
Grata, desde já.
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por admin » Sáb Fev 23, 2008 05:36
Olá.
O primeiro passo é notar bem a classificação citada do prisma.
Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.
Um
prisma triangular possui triângulos como bases.
E um
prisma regular é um prisma reto cujas bases são poligonais regulares, portanto, os triângulos das bases são equiláteros.
É fundamental extrair esta informação de que as bases são triângulos equiláteros.
Sem ela, não conseguimos resolver o problema.
Antes de continuarmos as etapas, vale notar o seguinte.
Queremos calcular
, mas como o
é equilátero e os pontos
e
são médios respectivamente dos segmentos
e
, temos que:
e ainda
Então, agora vamos focar as contas na pirâmide
, pois já temos
relacionado em suas arestas.
Em seguida, trace a altura do
em relação à base
.
Chamemos de
a intersercção entre esta altura e
.
Como a face
está contida no plano
, segue que o ângulo PÔA =
.
Também, por hipótese, sabemos que PÂO é reto.
Vamos especificar a medida do segmento
.
É a altura de um triângulo equilátero, então:
Encontrando a medida da altura
da pirâmide:
Considere o
.
Podemos extrair que:
E por fim, utilizaremos então o dado do volume da pirâmide:
O volume da pirâmide APMN é um terço do produto entre a
área da base
e a altura
.
(de fato, alternativa D)
Curiosidade: apenas como um exercício de visualização espacial, repare que rebaixando a base superior do prisma, até o ponto P, o prisma menor resultante comporta exatamente 6 pirâmides APMN encaixadas em seu interior!
Espero ter ajudado!
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admin
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por Ananda » Sáb Fev 23, 2008 11:22
Oi!
Grata!
Ajudou sim...
E suas descrições iniciais me serviram como dica em outros exercícios!
Grata mesmo!
Ananda
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por perlingra » Qui Mar 06, 2014 21:51
Como você sabe que o triângulo AMN é equilatero?
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perlingra
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Sáb Abr 06, 2013 21:03
Inequações
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Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42
Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois
2°) Admitamos que
, seja verdadeira:
(hipótese da indução)
e provemos que
Temos: (Nessa parte)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55
Boa noite Fontelles.
Não sei se você está familiarizado com o
Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.
Ele dá uma equação, no caso:
E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:
Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que
seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para
.
Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.
Espero ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28
Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32
Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25
Boa tarde Fontelles!
Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.
O que temos que provar é isso:
, certo? O autor começou do primeiro membro:
Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:
Que é outra verdade. Agora, com certeza:
Agora, como
é
a
, e este por sua vez é sempre
que
, logo:
Inclusive, nunca é igual, sempre maior.
Espero (dessa vez) ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39
Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37
c.q.d. = como queriamos demonstrar =)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33
Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05
Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04
MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa.
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