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Prisma e pirâmide (MACKENZIE)

Prisma e pirâmide (MACKENZIE)

Mensagempor Ananda » Sex Fev 22, 2008 19:49

Olá, gostaria de ajuda com esse exercício:
Na figura, PMN é a secção do prisma reto, triangular e regular, com um plano \alpha que faz 60º com sua base. Se M e N são pontos médios das arestas AC e AB, respectivamente, e se o volume do sólido assinalado é \sqrt[2]3{}, então K mede:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Segundo o livro, a alternativa correta é a D.
Grata, desde já.
Anexos
022208181214-00.jpg
Ananda
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Re: Prisma e pirâmide (MACKENZIE)

Mensagempor admin » Sáb Fev 23, 2008 05:36

Olá.

O primeiro passo é notar bem a classificação citada do prisma.

Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.
Um prisma triangular possui triângulos como bases.
E um prisma regular é um prisma reto cujas bases são poligonais regulares, portanto, os triângulos das bases são equiláteros.

É fundamental extrair esta informação de que as bases são triângulos equiláteros.
Sem ela, não conseguimos resolver o problema.

Antes de continuarmos as etapas, vale notar o seguinte.
Queremos calcular K, mas como o \Delta ABC é equilátero e os pontos M e N são médios respectivamente dos segmentos \frac{}{AC} e \frac{}{AB}, temos que:

K=AB=BC=AC

e ainda

\frac{K}{2}=AN=AM=MN

Então, agora vamos focar as contas na pirâmide APMN, pois já temos K relacionado em suas arestas.

Em seguida, trace a altura do \Delta AMN em relação à base \frac{}{MN}.
Chamemos de O a intersercção entre esta altura e \frac{}{MN}.

Como a face PMN está contida no plano \alpha, segue que o ângulo PÔA = 60^\circ.
Também, por hipótese, sabemos que PÂO é reto.


Vamos especificar a medida do segmento \frac{}{AO}.
É a altura de um triângulo equilátero, então:
AO = \frac{K}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{K \sqrt{3}}{4}

Encontrando a medida da altura \frac{}{AP} da pirâmide:
Considere o \Delta APO.

Podemos extrair que:

tg 60^\circ = \frac{AP}{AO}

\sqrt{3} = \frac{AP}{ \frac{K\sqrt{3}}{4} }

AP = \frac{ K\sqrt{3}\sqrt{3} }{4}

AP = \frac{3K}{4}


E por fim, utilizaremos então o dado do volume da pirâmide:
\sqrt{3} = \frac13 \cdot \left(\frac{K}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot AP
O volume da pirâmide APMN é um terço do produto entre a área da base \Delta AMN e a altura AP.


\cancel{\sqrt{3}} = \frac13 \cdot \frac{K^2}{4} \cdot \frac{\cancel{\sqrt{3}}}{4} \cdot \frac34 K

K^3 = 64

\sqrt[3]{K^3} = \sqrt[3]{64}

K = 4 (de fato, alternativa D)

Curiosidade: apenas como um exercício de visualização espacial, repare que rebaixando a base superior do prisma, até o ponto P, o prisma menor resultante comporta exatamente 6 pirâmides APMN encaixadas em seu interior!


Espero ter ajudado!
Fábio Sousa
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Re: Prisma e pirâmide (MACKENZIE)

Mensagempor Ananda » Sáb Fev 23, 2008 11:22

Oi!
Grata!
Ajudou sim...
E suas descrições iniciais me serviram como dica em outros exercícios!
Grata mesmo!
Ananda
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Re: Prisma e pirâmide (MACKENZIE)

Mensagempor perlingra » Qui Mar 06, 2014 21:51

Como você sabe que o triângulo AMN é equilatero?
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Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


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Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15

Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


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Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26

Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31

derivada de (16-2x)=-2
derivada de (21-x)=-1
derivada de x=1
derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)