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[Geometria Espacial Polinômios] UESB 2011.2

[Geometria Espacial Polinômios] UESB 2011.2

Mensagempor Leocondeuba » Ter Nov 05, 2013 22:08

Olá a todos. Estou com dificuldade nesta questão pois só encontro raízes que somando não resultam nos resultados das alternativas. Desde já agradeço a todos que tentarem me ajudar.

Imagem

Na figura ao lado, as medidas a, b, c são, respectivamente, iguais ao polinômios 3x² + 5, 2x³ - 2x, e x² + 1.
Se P(x) é o polinômio que representa a área total do sólido representado na figura, então a soma dos inversos das raízes de P(x) é igual a:

01)12/5 02) 8/5 03)4/5 04)-8/5 05)-6/5
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Re: [Geometria Espacial Polinômios] UESB 2011.2

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jan 31, 2016 21:33

Olá!!

A área da figura em questão é dada por 2(ab + ac + bc). Então, P(x) = 2[(3x² + 5)(2x³ - 2x) + (2x³ - 2x)(x² + 1) + (3x² + 5)(x² + 1)].

Desenvolvendo chegamos a P(x) = 16x^5 + 6x^4 + 8x³ + 16x² - 24x + 10.

O problema pede a soma dos inversos das raízes de P(x). Ora, se considerarmos as raízes como sendo x_1, x_2, x_3, x_4 e x_5, teremos:

1/x_1 + 1/x_2 + 1/x_3 + 1/x_4 + 1/x_5 =

(x_2 . x_3 . x_4 . x_5 + x_1 . x_3 . x_4 . x_5 + x_1 . x_2 . x_4 . x_5 + x_1 . x_2 . x_3 . x_4)/(x_1 . x_2 . x_3 . x_4 . x_5) =

Das Relações de Girard, tiramos que: se P(x) = Ax^5 + Bx^4 + Cx³ + Dx² + Ex + F, então:

- a soma dos produtos das raízes tomados quatro a quatro é dada por (+ E)/A;

- o produto das raízes é dado por (- F)/A.

Isto posto, temos que:

E/A : (- F)/A =

E/A . A/(- F) =

E/(- F) =

(- 24)/(- 10) =

24/10 =

12/5

Espero ter ajudado!
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habilidade é saber como fazer;
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?