Tetraedro Regular

por **ravenreyes** » Sex Ago 21, 2015 10:55

Um tetraedro regular é circunscrito a uma esfera. Se a área da superfície da esfera é de 3? m², calcule o volume do tetraedro.

por **adlehs** » Qui Nov 12, 2015 03:58

Considere r: raio da esfera, a: aresta do tetraedro, a relação existente entre r e a:

$\frac{a \sqrt[]{6}}{12}$ e h(altura do tetraedro) $=a\frac{\sqrt[]{6}}{3}$ .
Sabendo que a área da superfície da esfera é dada por 4 $\pi$ ${r}^{2}$ , temos: 4 $\pi$ ${r}^{2}$ =3 $\pi$ $\rightarrow$ $r=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ e desta forma pela relação existente entre a e r, $a=3 \sqrt[]{2}$ .
Para calcular o volume do tetraedro, temos:
$V=\frac{1}{3}$ .área da base.altura
Como a base do tetredro é um triângulo equilátero, a mesma será dada por: $\frac{{a}^{2}\sqrt[]{3}}{4}$ . Assim,
$V=\frac{1}{3}.\frac{{{3}^{2}\sqrt[]{2}}^{2}.\sqrt[]{3}}{4}.\frac{3\sqrt[]{2}.\sqrt[]{6}}{3}$
$= 9{m}^{3}$

Tetraedro Regular

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