Prisma e pirâmide (MACKENZIE)

por **Ananda** » Sex Fev 22, 2008 19:49

Olá, gostaria de ajuda com esse exercício:
Na figura, PMN é a secção do prisma reto, triangular e regular, com um plano $\alpha$ que faz 60º com sua base. Se M e N são pontos médios das arestas AC e AB, respectivamente, e se o volume do sólido assinalado é $\sqrt[2]3{}$ , então K mede:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Segundo o livro, a alternativa correta é a D.
Grata, desde já.

por **admin** » Sáb Fev 23, 2008 05:36

Olá.

O primeiro passo é notar bem a classificação citada do prisma.

Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.
Um prisma triangular possui triângulos como bases.
E um prisma regular é um prisma reto cujas bases são poligonais regulares, portanto, os triângulos das bases são equiláteros.

É fundamental extrair esta informação de que as bases são triângulos equiláteros.
Sem ela, não conseguimos resolver o problema.

Antes de continuarmos as etapas, vale notar o seguinte.
Queremos calcular

, mas como o $\Delta ABC$ é equilátero e os pontos

e

são médios respectivamente dos segmentos $\frac{}{AC}$ e $\frac{}{AB}$ , temos que:

K=AB=BC=AC

e ainda

$\frac{K}{2}=AN=AM=MN$

Então, agora vamos focar as contas na pirâmide APMN

, pois já temos

relacionado em suas arestas.

Em seguida, trace a altura do $\Delta AMN$ em relação à base $\frac{}{MN}$ .
Chamemos de

a intersercção entre esta altura e $\frac{}{MN}$ .

Como a face PMN

está contida no plano $\alpha$ , segue que o ângulo PÔA = $60^\circ$ .
Também, por hipótese, sabemos que PÂO é reto.

Vamos especificar a medida do segmento $\frac{}{AO}$ .
É a altura de um triângulo equilátero, então:
$AO = \frac{K}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{K \sqrt{3}}{4}$

Encontrando a medida da altura $\frac{}{AP}$ da pirâmide:
Considere o $\Delta APO$ .

Podemos extrair que:

$tg 60^\circ = \frac{AP}{AO}$

$\sqrt{3} = \frac{AP}{ \frac{K\sqrt{3}}{4} }$

$AP = \frac{ K\sqrt{3}\sqrt{3} }{4}$

$AP = \frac{3K}{4}$

E por fim, utilizaremos então o dado do volume da pirâmide:
$\sqrt{3} = \frac13 \cdot \left(\frac{K}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot AP$

O volume da pirâmide APMN é um terço do produto entre a área da base $\Delta AMN$ e a altura .

$\cancel{\sqrt{3}} = \frac13 \cdot \frac{K^2}{4} \cdot \frac{\cancel{\sqrt{3}}}{4} \cdot \frac34 K$

K^3 = 64

$\sqrt[3]{K^3} = \sqrt[3]{64}$

K = 4

(de fato, alternativa D)

Curiosidade: apenas como um exercício de visualização espacial, repare que rebaixando a base superior do prisma, até o ponto P, o prisma menor resultante comporta exatamente 6 pirâmides APMN encaixadas em seu interior!

Espero ter ajudado!