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Última mensagem por Janayna
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por Ananda » Sex Fev 22, 2008 19:49
Olá, gostaria de ajuda com esse exercício:
Na figura, PMN é a secção do prisma reto, triangular e regular, com um plano que faz 60º com sua base. Se M e N são pontos médios das arestas AC e AB, respectivamente, e se o volume do sólido assinalado é , então K mede:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Segundo o livro, a alternativa correta é a D.
Grata, desde já.
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por admin » Sáb Fev 23, 2008 05:36
Olá.
O primeiro passo é notar bem a classificação citada do prisma.
Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.
Um
prisma triangular possui triângulos como bases.
E um
prisma regular é um prisma reto cujas bases são poligonais regulares, portanto, os triângulos das bases são equiláteros.
É fundamental extrair esta informação de que as bases são triângulos equiláteros.
Sem ela, não conseguimos resolver o problema.
Antes de continuarmos as etapas, vale notar o seguinte.
Queremos calcular
, mas como o
é equilátero e os pontos
e
são médios respectivamente dos segmentos
e
, temos que:
e ainda
Então, agora vamos focar as contas na pirâmide
, pois já temos
relacionado em suas arestas.
Em seguida, trace a altura do
em relação à base
.
Chamemos de
a intersercção entre esta altura e
.
Como a face
está contida no plano
, segue que o ângulo PÔA =
.
Também, por hipótese, sabemos que PÂO é reto.
Vamos especificar a medida do segmento
.
É a altura de um triângulo equilátero, então:
Encontrando a medida da altura
da pirâmide:
Considere o
.
Podemos extrair que:
E por fim, utilizaremos então o dado do volume da pirâmide:
O volume da pirâmide APMN é um terço do produto entre a
área da base
e a altura
.
(de fato, alternativa D)
Curiosidade: apenas como um exercício de visualização espacial, repare que rebaixando a base superior do prisma, até o ponto P, o prisma menor resultante comporta exatamente 6 pirâmides APMN encaixadas em seu interior!
Espero ter ajudado!
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admin
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por Ananda » Sáb Fev 23, 2008 11:22
Oi!
Grata!
Ajudou sim...
E suas descrições iniciais me serviram como dica em outros exercícios!
Grata mesmo!
Ananda
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Ananda
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por perlingra » Qui Mar 06, 2014 21:51
Como você sabe que o triângulo AMN é equilatero?
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perlingra
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Inequações
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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