[Cálculo de área de triângulo] Com os três eixos coordenado.

por **Matheus Lacombe O** » Sáb Out 13, 2012 16:30

- Dae galerinha! Tudo bem? Olhem só: - Estava resolvendo minha lista de exercicíos de 'Algebra Linear e Geometria Analítica' e eis que me deparo com uma questão em que não consigo concordar com o resultado exposto no gabarito. A questão basicamente propõem que, dados três pontos no espaço, pertencentes a um triângulo qualquer, deve-se encontrar a área deste triângulo. Lembrando, o tipo do triângulo não é informado.

Na integra: "Exercicío: 7.24) Calcule a área do triângulo cujos vértices são os pontos A(2,1,-1), B(1,-1,0) e C(-1,1,2)". (Melo, Aline Resmine. Apostila de Álgebra Linear e Geometria Analítica, 2010, p.113).

- Para tento, pensei ná fórmula abaixo e resolvi:

$\frac{\left| \begin{pmatrix} {x}_{a} & {y}_{a} & 1 \\ {x}_{b} & {y}_{b} & 1 \\ {x}_{c} & {y}_{c} & 1 \end{pmatrix} \right|}{2}$

Com o eixo 'Z', fica:

$\frac{\left| \begin{pmatrix} {x}_{a} & {y}_{a} & {z}_{a} \\ {x}_{b} & {y}_{b} & {z}_{b} \\ {x}_{c} & {y}_{c} & {z}_{c} \end{pmatrix} \right|}{2}$

Resolução:

$\frac{\left| \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \right|}{2}$

$\frac{\left|-6 \right|}{2}$

- No entanto, a resposta que consta no gabarito é:

$6\sqrt[]{2}$

- E agora, senhor? Onde foi que eu errei? Oh God, why?

Abraços pessoal! Aguardando..

por **e8group** » Sáb Out 13, 2012 17:51

Considere o triângulo ABC . Através da altura (h) relativa ao segmento AC teremos duas relações donde obteremos a altura em função do ângulo adjacente a altura .

1) $h= cos(\gamma) |AB|$

2) $cos(\gamma) = \frac{ \overrightarrow{h} \cdot \overrightarrow{BA}}{|h||BA| }$

Substituindo a relação (1) em (2) :

$h = \frac{ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BA}}{|BA| }$ .Assim ,

$S = \frac{|AC||\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BA}|} { 2|BA| }$ .

Visto que :

$\overrightarrow{AB} = (-1,-2,1)$

$\overrightarrow{BA} = (1,2,-1)$

$|AC| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

Seque que :

$S = \frac{3\sqrt{2}|(-1 -2 -1)|}{2} = 6 \sqrt{2} u.a$ .