[VETORES] Produto Vetorial

por **IsadoraOliveira** » Sex Set 28, 2012 16:23

Sejam u(u1,u2,u3) e v(v1,v2,v3) e $\left|uxv \right|=\left|u \right|.\left|v \right|.sen\theta$ , onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores u e v, mostre que

u x v = $\begin{vmatrix} i & j & k \\ u1 & u2 & u3 \\ v1 & v2 & v3 \end{vmatrix}$

OBS: ${\left|uxv \right|}^{2}= {\left|u \right|}^{2} . {\left|v \right|}^{2} - {\left|u.v \right|}^{2}$

OBS2: Leve em consideração as propriedades de produto vetorial

Eu recebi esse desafio na faculdade, mas não to sabendo por onde começar e nem to tendo muita noção do que fazer. Tem como alguém me ajudar?

Vlww

por **Russman** » Sex Set 28, 2012 17:51

O produto vetorial de vetores se assemelha ao produto de escalares. Dado um escalar real a_i

então, por exemplo

$(a_1 + a_2) \times (a_3 + a_4) = a_1 \times a_3 + a_1\times a_4 + a_2\times a_3 + a_2\times a_4$ ,

isto é, o produto de somas é chamado distributivo.

Assim, dados dois vetores $\overrightarrow{u}=u_1\widehat{i}+u_2\widehat{j}+u_3\widehat{k}$ e $\overrightarrow{v}=v_1\widehat{i}+v_2\widehat{j}+v_3\widehat{k}$ , temos

$\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=(u_1\widehat{i})\times (v_1\widehat{i}) + (u_1\widehat{i})\times (v_2\widehat{j})+...$ .

Faça para todos os termos. Lembre-se que

$\left\{\begin{matrix} i\times i=0 &i\times j=k &i\times k=-j \\ j\times j = 0&j\times i=-k & j\times k=i \\ k\times k=0& k\times j=-i & k\times i = j \end{matrix}\right.$

e que $\alpha \overrightarrow{a} \times \beta \overrightarrow{b} = (\alpha \beta )(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$ , alpha e beta escalares.

Rearranjando os termos você identificará a mesma configuração de um determinante de matriz 3x3 dada organização como é exposto o produto vetorial.

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