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por hygorvv » Qua Jul 25, 2012 12:45
Olá galera, bom dia.
Um paralelogramo de vértices A, B, C e D, tem lados AB e CD paralelos à reta de equação r: X=(0,0,0)+k(3,4,5) e os outros dois paralelos ao plano ? : x+y+3z=0. Conhecendo os vértices A e D, determine os vértices B e C. Dados: A=(0,0,0) e D=(1,1,1).
Resposta:
B=(15/22 , 20/22 , 25/22) e C=(7/22 , 2/22 , -3/22)
Achei estranho, pois se o lado AD pertence ao plano ?;, o vetor AD também deveria pertencer (AD // ?;), o que na realidade não acontece. (
, 1.1+1.1+3.1 ?0).
Estou pensando de forma errônea?
Agradeço desde já.
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hygorvv
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por LuizAquino » Qua Jul 25, 2012 18:17
hygorvv escreveu:Um paralelogramo de vértices A, B, C e D, tem lados AB e CD paralelos à reta de equação r: X=(0,0,0)+k(3,4,5) e os outros dois paralelos ao plano ? : x+y+3z=0. Conhecendo os vértices A e D, determine os vértices B e C. Dados: A=(0,0,0) e D=(1,1,1).
Resposta:
B=(15/22 , 20/22 , 25/22) e C=(7/22 , 2/22 , -3/22)
hygorvv escreveu:Achei estranho, pois se o lado AD pertence ao plano ?;, o vetor AD também deveria pertencer (AD // ?;), o que na realidade não acontece. (
, 1.1+1.1+3.1 ?0).
Estou pensando de forma errônea?
Sim, você está pensando de forma equivocada.
Primeiro, o segmento AD não pertence ao plano. Ele é apenas paralelo ao plano. Além disso, também não faz sentido dizer que um vetor "pertence" a um plano. No máximo, você poderia dizer que alguns dos representantes do vetor pertencem ao plano.
Há ainda outro equívoco. Você está considerando que o paralelogramo tem necessariamente o formato ABCD (vide a figura 1). Mas nada impede que ele tenha o formato ABDC (vide a figura 2).
- Figura 1 - Paralelogramo ABCD.
- figura1.png (2.47 KiB) Exibido 5399 vezes
- Figura 2 - Paralelogramo ABDC.
- figura2.png (1.91 KiB) Exibido 5399 vezes
Agora tente concluir o exercício considerando a figura 2.
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LuizAquino
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por hygorvv » Qui Jul 26, 2012 14:36
Colega, na verdade, houve um abuso de linguagem por minha parte. Repare que eu coloquei entre parenteses que o vetor AD deveria ser paralelo ao plano ?.
Agora eu consegui, realmente o problema era na forma como eu estava imaginando o paralelogramo (distribuição dos pontos).
Segue a resolução, qualquer crítica, fiquem a vontade.
Repare que o ponto A ? r e A ? ?.
Sendo assim, o vetor
é paralelo ao plano
.
Sendo
, temos a seguinte relação
(i)
Repare ainda que
, donde tiramos:
Como o lado AB é paralelo a reta r, o vetor
também é paralelo a r, sendo assim, temos a relação:
, sendo t um escalar (o vetor
é paralelo ao vetor diretor da reta), daí:
Substituindo em cima, temos:
Substituindo em (i), obtemos:
Logo,
e
Muito obrigado pela atenção e dica LuizAquino.
Editado pela última vez por
hygorvv em Qui Jul 26, 2012 15:50, em um total de 1 vez.
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hygorvv
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por LuizAquino » Qui Jul 26, 2012 15:24
hygorvv escreveu:Repare que o ponto A ? r e A ? ?.
Sendo assim, o vetor
é paralelo ao plano
.
Sendo
, temos a seguinte relação
(i)
Você escreveu que como
e
, temos que
é paralelo a
.
Entretanto, o fato de
ser paralelo a
já é um dado do exercício!
Na verdade, usando o fato de
e
ser paralelo a
, a conclusão que você deveria tirar é que
. Daí sim, fazendo
, como este ponto está no plano, temos que:
Perceba ainda que da forma como você escreveu você cometeu o erro conceitual de "substituir" na equação do plano as coordenadas de um vetor. Entretanto, na equação do plano nós podemos substituir as coordenadas de um ponto. Cuidado para não confundir os conceitos!
Ok.
Ok.
Editado pela última vez por
LuizAquino em Qui Jul 26, 2012 19:06, em um total de 1 vez.
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por hygorvv » Qui Jul 26, 2012 15:50
Perceba ainda que da forma como você escreveu você cometeu o erro conceitual de "substituir" na equação do plano as coordenadas de um vetor. Entretanto, na equação do plano nós podemos substituir as coordenadas de um ponto. Cuidado para não confundir os conceitos!
Na verdade, foi a forma como eu escrevi mesmo. Eu conheço de onde saiu a relação (posição relativa de reta e plano). Agradeço pela ajuda e correção dos erros de digitação.
Até breve.
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hygorvv
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Como resolvo uma questao desse tipo:
Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
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Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é
Alguem me ajuda? Agradeço desde já.
Assunto:
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Autor:
Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47
V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3
V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³
Derivando:
dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3
Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17
Temos que o volume é dado por:
Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:
Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:
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