Posição relativa de retas e planos

[hygorvv]

Olá galera, bom dia.

Um paralelogramo de vértices A, B, C e D, tem lados AB e CD paralelos à reta de equação r: X=(0,0,0)+k(3,4,5) e os outros dois paralelos ao plano ? : x+y+3z=0. Conhecendo os vértices A e D, determine os vértices B e C. Dados: A=(0,0,0) e D=(1,1,1).

Resposta:
B=(15/22 , 20/22 , 25/22) e C=(7/22 , 2/22 , -3/22)

Achei estranho, pois se o lado AD pertence ao plano ?;, o vetor AD também deveria pertencer (AD // ?;), o que na realidade não acontece. (, 1.1+1.1+3.1 ?0).
Estou pensando de forma errônea?

Agradeço desde já.

[LuizAquino]

Um paralelogramo de vértices A, B, C e D, tem lados AB e CD paralelos à reta de equação r: X=(0,0,0)+k(3,4,5) e os outros dois paralelos ao plano ? : x+y+3z=0. Conhecendo os vértices A e D, determine os vértices B e C. Dados: A=(0,0,0) e D=(1,1,1).

Resposta:
B=(15/22 , 20/22 , 25/22) e C=(7/22 , 2/22 , -3/22)

Achei estranho, pois se o lado AD pertence ao plano ?;, o vetor AD também deveria pertencer (AD // ?;), o que na realidade não acontece. (, 1.1+1.1+3.1 ?0).
Estou pensando de forma errônea?

Sim, você está pensando de forma equivocada.

Primeiro, o segmento AD não pertence ao plano. Ele é apenas paralelo ao plano. Além disso, também não faz sentido dizer que um vetor "pertence" a um plano. No máximo, você poderia dizer que alguns dos representantes do vetor pertencem ao plano.

Há ainda outro equívoco. Você está considerando que o paralelogramo tem necessariamente o formato ABCD (vide a figura 1). Mas nada impede que ele tenha o formato ABDC (vide a figura 2).

Figura 1 - Paralelogramo ABCD.

figura1.png (2.47 KiB) Exibido 5368 vezes

Figura 2 - Paralelogramo ABDC.

figura2.png (1.91 KiB) Exibido 5368 vezes

Agora tente concluir o exercício considerando a figura 2.

[hygorvv]

Colega, na verdade, houve um abuso de linguagem por minha parte. Repare que eu coloquei entre parenteses que o vetor AD deveria ser paralelo ao plano ?.

Agora eu consegui, realmente o problema era na forma como eu estava imaginando o paralelogramo (distribuição dos pontos).

Segue a resolução, qualquer crítica, fiquem a vontade.

Repare que o ponto A ? r e A ? ?.
Sendo assim, o vetor é paralelo ao plano .
Sendo , temos a seguinte relação
(i)

Repare ainda que , donde tiramos:




Como o lado AB é paralelo a reta r, o vetor também é paralelo a r, sendo assim, temos a relação:
, sendo t um escalar (o vetor é paralelo ao vetor diretor da reta), daí:



Substituindo em cima, temos:



Substituindo em (i), obtemos:




Logo, e

Muito obrigado pela atenção e dica LuizAquino.

[LuizAquino]

Repare que o ponto A ? r e A ? ?.
Sendo assim, o vetor é paralelo ao plano .
Sendo , temos a seguinte relação
(i)

Você escreveu que como e , temos que é paralelo a .

Entretanto, o fato de ser paralelo a já é um dado do exercício!

Na verdade, usando o fato de e ser paralelo a , a conclusão que você deveria tirar é que . Daí sim, fazendo , como este ponto está no plano, temos que:



Perceba ainda que da forma como você escreveu você cometeu o erro conceitual de "substituir" na equação do plano as coordenadas de um vetor. Entretanto, na equação do plano nós podemos substituir as coordenadas de um ponto. Cuidado para não confundir os conceitos!

Repare ainda que , donde tiramos:




Como o lado AB é paralelo a reta r, o vetor também é paralelo a r, sendo assim, temos a relação:
, sendo t um escalar (o vetor é paralelo ao vetor diretor da reta), daí:

Ok.

Substituindo em cima, temos:



Substituindo em (i), obtemos:




Logo, e

Ok.

[hygorvv]

Perceba ainda que da forma como você escreveu você cometeu o erro conceitual de "substituir" na equação do plano as coordenadas de um vetor. Entretanto, na equação do plano nós podemos substituir as coordenadas de um ponto. Cuidado para não confundir os conceitos!

Na verdade, foi a forma como eu escrevi mesmo. Eu conheço de onde saiu a relação (posição relativa de reta e plano). Agradeço pela ajuda e correção dos erros de digitação.

Até breve.