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Dúvida {Cálculo da área de um triângulo}

Dúvida {Cálculo da área de um triângulo}

Mensagempor Danilo » Qua Jul 11, 2012 05:40

Pessoal, estou empacado em um exercício e quero muito saber onde estou errando.

Num triângulo ABC, no qual A(2,1), B(0,3) e C(-1,0), toma-se M na reta BC tal que as áreas dos triângulos AMC e AMB ficam na mesma razão 1/4. Calcular as coordenadas de M.
Resp.: M (-4/3,-1) ou M (-4/5,3/5)

Bom, SABC = área do triangulo ABC, SABM = área do triangulo ABM e S AMC = área do triangulo AMC. Primeiramente calculei a área do triângulo ABC e encontrei 4. De acordo com o enunciado, SAMB = 4SAMC. E também SABC = SABM + SAMC => 4 = 5SAMC => SAMC = 4/5 e SABC = 16/5 . Chamando o ponto M de (x,y) eu fiz o determinante do triângulo ABM e encontrei x-3y+1. Sua área é tal que x-3y+1 = 2SAMC. => x-3y+1 = 2(4/5) => x = (3+15y)/5. Analogamente, calculei a área do triângulo AMC tal que x = (-10y -2 )/10. Resolvendo o sistema formado pelas equações 3+15y)/5 e (-10y -2 )/10 eu consigo encontrar os valores de x e de y, mas esses valores encontrados não condizem com a resposta correta. Alguém poderia por favor me dizer onde estou errando? Agradeço mt a quem puder me ajudar. Valeu !
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Re: Dúvida {Cálculo da área de um triângulo}

Mensagempor LuizAquino » Qua Jul 11, 2012 09:47

Danilo escreveu:Num triângulo ABC, no qual A(2,1), B(0,3) e C(-1,0), toma-se M na reta BC tal que as áreas dos triângulos AMC e AMB ficam na mesma razão 1/4. Calcular as coordenadas de M.
Resp.: M (-4/3,-1) ou M (-4/5,3/5)


Danilo escreveu:Pessoal, estou empacado em um exercício e quero muito saber onde estou errando.

Bom, SABC = área do triangulo ABC, SABM = área do triangulo ABM e S AMC = área do triangulo AMC. Primeiramente calculei a área do triângulo ABC e encontrei 4. De acordo com o enunciado, SAMB = 4SAMC. E também SABC = SABM + SAMC => 4 = 5SAMC => SAMC = 4/5 e SABC = 16/5 . Chamando o ponto M de (x,y) eu fiz o determinante do triângulo ABM e encontrei x-3y+1. Sua área é tal que x-3y+1 = 2SAMC. => x-3y+1 = 2(4/5) => x = (3+15y)/5. Analogamente, calculei a área do triângulo AMC tal que x = (-10y -2 )/10. Resolvendo o sistema formado pelas equações 3+15y)/5 e (-10y -2 )/10 eu consigo encontrar os valores de x e de y, mas esses valores encontrados não condizem com a resposta correta. Alguém poderia por favor me dizer onde estou errando? Agradeço mt a quem puder me ajudar. Valeu!


Basicamente você cometeu dois erros: 1) não necessariamente acontece SABC = SAMB + SAMC, pois o ponto M pode estar fora do segmento BC (a única restrição é que M deve estar na reta passando por BC); 2) as áreas de AMB e AMC estão erradas.

Considerando a reta r passando por B = (0, 3) e C = (-1, 0), obtemos r : y = 3x + 3. Como o ponto C está sobre essa reta, temos que o formato desse ponto é C = (t, 3t + 3), para algum escalar t.

Calculando as áreas SAMB e SAMC, obtemos:

SAMB = \frac{1}{2}\left|\det D\right|,\textrm{ com } D = \begin{bmatrix}2 & 1 & 1 \\ t & 3t + 3 & 1 \\ 0 & 3 & 1\end{bmatrix}

SAMC = \frac{1}{2}\left|\det D\right|,\textrm{ com } D = \begin{bmatrix}2 & 1 & 1 \\ t & 3t+3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Atenção! Note que \det D está dentro de um módulo. A imensa maioria das pessoas esquece disso quando aplica essa fórmula!

Fazendo as contas, obtemos então que:

SAMB = 4|t|

SAMC = 4|t + 1|

Lembrando que SAMB = 4SAMC, podemos armar a seguinte equação modular:

4|t| = 16|t + 1|

Agora basta você resolver essa equação modular. Você irá obter dois valores para t. Com isso, você obtém as duas possibilidades para C.

Tente concluir o exercício.
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Re: Dúvida {Cálculo da área de um triângulo}

Mensagempor Danilo » Qua Jul 11, 2012 13:54

LuizAquino escreveu:
Danilo escreveu:Num triângulo ABC, no qual A(2,1), B(0,3) e C(-1,0), toma-se M na reta BC tal que as áreas dos triângulos AMC e AMB ficam na mesma razão 1/4. Calcular as coordenadas de M.
Resp.: M (-4/3,-1) ou M (-4/5,3/5)


Danilo escreveu:Pessoal, estou empacado em um exercício e quero muito saber onde estou errando.

Bom, SABC = área do triangulo ABC, SABM = área do triangulo ABM e S AMC = área do triangulo AMC. Primeiramente calculei a área do triângulo ABC e encontrei 4. De acordo com o enunciado, SAMB = 4SAMC. E também SABC = SABM + SAMC => 4 = 5SAMC => SAMC = 4/5 e SABC = 16/5 . Chamando o ponto M de (x,y) eu fiz o determinante do triângulo ABM e encontrei x-3y+1. Sua área é tal que x-3y+1 = 2SAMC. => x-3y+1 = 2(4/5) => x = (3+15y)/5. Analogamente, calculei a área do triângulo AMC tal que x = (-10y -2 )/10. Resolvendo o sistema formado pelas equações 3+15y)/5 e (-10y -2 )/10 eu consigo encontrar os valores de x e de y, mas esses valores encontrados não condizem com a resposta correta. Alguém poderia por favor me dizer onde estou errando? Agradeço mt a quem puder me ajudar. Valeu!


Basicamente você cometeu dois erros: 1) não necessariamente acontece SABC = SAMB + SAMC, pois o ponto M pode estar fora do segmento BC (a única restrição é que M deve estar na reta passando por BC); 2) as áreas de AMB e AMC estão erradas.

Considerando a reta r passando por B = (0, 3) e C = (-1, 0), obtemos r : y = 3x + 3. Como o ponto C está sobre essa reta, temos que o formato desse ponto é C = (t, 3t + 3), para algum escalar t.

Calculando as áreas SAMB e SAMC, obtemos:

SAMB = \frac{1}{2}\left|\det D\right|,\textrm{ com } D = \begin{bmatrix}2 & 1 & 1 \\ t & 3t + 3 & 1 \\ 0 & 3 & 1\end{bmatrix}

SAMC = \frac{1}{2}\left|\det D\right|,\textrm{ com } D = \begin{bmatrix}2 & 1 & 1 \\ t & 3t+3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Atenção! Note que \det D está dentro de um módulo. A imensa maioria das pessoas esquece disso quando aplica essa fórmula!

Fazendo as contas, obtemos então que:

SAMB = 4|t|

SAMC = 4|t + 1|

Lembrando que SAMB = 4SAMC, podemos armar a seguinte equação modular:

4|t| = 16|t + 1|

Agora basta você resolver essa equação modular. Você irá obter dois valores para t. Com isso, você obtém as duas possibilidades para C.

Tente concluir o exercício.


Muito obrigado = D
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}