Exercício sobre Feixe de retas concorrentes - DÚVIDA

por **Danilo** » Sáb Mai 26, 2012 21:00

Pessoal, estou em dúvida um exercício aqui... consegui desenvolver, mas não cheguei na resposta correta.

Calcule o valor de m para que os três feixes definidos pelas equações:

2x+3y-8 +k1(mx-3y+5)=0
4x+3y+25+k2(2x-3y-1)=0
mx+my+1+k3(-mx-4y-1)=0

tenham uma reta comum.

Bom, minha idéia é encontrar o ponto de interseção de cada feixe de retas. Encontrei o ponto de interseção da retas do feixe (-4,3). O da terceira (-1/4,0). O da primeira , deixei cada coordenada em função de m.

Assim, montei o determinante com as coordenadas e igualei a zero. Penso eu, que eu deveria encontrar o valor de m tal que as interseções estejam alinhadas... formando uma reta. Mas já tentei de tudo e não dá!!! Agradeço quem puder ajudar!

por **LuizAquino** » Seg Mai 28, 2012 17:17

Danilo escreveu:Calcule o valor de m para que os três feixes definidos pelas equações:

2x+3y-8 +k1(mx-3y+5)=0
4x+3y+25+k2(2x-3y-1)=0
mx+my+1+k3(-mx-4y-1)=0

tenham uma reta comum.

Danilo escreveu:Bom, minha idéia é encontrar o ponto de interseção de cada feixe de retas. Encontrei o ponto de interseção da retas do feixe (-4,3). O da terceira (-1/4,0). O da primeira , deixei cada coordenada em função de m.

Assim, montei o determinante com as coordenadas e igualei a zero. Penso eu, que eu deveria encontrar o valor de m tal que as interseções estejam alinhadas... formando uma reta. Mas já tentei de tudo e não dá!!!

A ideia é por aí. Mas os pontos de interseção que você calculou não estão corretos. O correto está indicado abaixo.

Interseção do Feixe 1)

$2x + 3y - 8 + k_1(mx - 3y + 5)=0 \implies (2 + k_1m)x + (3 - 3k_1)y - 8 + 5k_1 = 0$

Para k_1 = 1

, obtemos a reta $x = \frac{3}{2 + m}$ .

Já para $k_1 = -\frac{2}{m}$ , obtemos a reta $y = \frac{8m + 10}{3m + 6}$ .

Portanto, o ponto de interseção desse feixe é dado por $\left(\frac{3}{2 + m},\,\frac{8m + 10}{3m + 6}\right)$ .

Interseção do Feixe 2)

$4x + 3y + 25 + k2(2x - 3y - 1) = 0 \implies (4 + 2k_2)x + (3 - 3k_2)y + 25 - k_2 = 0$

Para k_2 = 1

, obtemos a reta x = -4.

Já para k_2 = -2

, obtemos a reta y = -3.

Portanto, o ponto de interseção desse feixe é dado por (-4, -3).

Interseção do Feixe 3)

$mx + my + 1 + k_3(-mx -4y -1) = 0 \implies (m - mk_3)x + (m - 4k_3)y + 1 - k_3 = 0$

Para $k_3 = \frac{m}{4}$ , obtemos a reta $x = -\frac{1}{m}$ .

Já para k_3 = 1

, obtemos a reta y = 0

Portanto, o ponto de interseção desse feixe é dado por $\left(-\frac{1}{m},\,0\right)$

Agora tente concluir o exercício.

por **Danilo** » Seg Mai 28, 2012 19:02

Professor, só para eu entender aqui. Você poderia ter atruíbuido qualquer numero real para m, correto? Só não entendi porque você chamou -2/m na interseção do feixe 1 e na interseção do feixe 3 k3=m/4? Eu chamei k3 = 0, aí eu encontrei o valor 4 para m e substituí e ficou -1/4 m e ficou ficou = 0. Mas se eu deixar -1/m daria certo. Por que eu não posso substituir m? Joguei as interseções de cada feixe no determinante e igualei a zero. Deu aqui, muito grato mesmo! Encontrei o valor de m correto. Agora, estou com uma série de dúvidas aqui. Estou estudando essa máteria em um livro e não entendi um trecho.. ''É comum apresentar-se a equação de um feixe em função de um só parâmetro (k) em vez de dois (k1 e k2). No exemplo k1(2x-3y) + k2(2x+y-4) = 0 , supondo k1 diferente de zero e dividindo por k1, temos:

(2x-3y) + k2/k1 x (x+3y-9) = 0 e, fazendo k2/k1 = k, resulta:

(2x-3y) +( k) x (x + 3y -9) = 0

Notemos, porém, que esta última equação exclui uma reta do feixe: a reta x + 3y -9 = 0 a k1 = 0" (mesmo sendo absurdo a divisão por zero??????). Bom, esta última reta não está no feixe de retas em hipótese em alguma ? (neste caso)

Bom, sei que se eu ter uma equação do feixe, por exemplo: k1 ( 2x - 3y) + k2 (2x+y-9) = 0, eu pegar a reta 2x-3y e igualar a 2x+y-9 eu encontro o ponto de interseção. Ok, isso eu entendi. Mas, se eu pegar, por exemplo a equação (x + y +1 ) + (m) x ( x - y -3) = 0 pegar cada reta e igualar eu já nao consigo encontrar a interseção correta, pois x será zero, o que não é verdade pois x vale 1. Eu só consigo encontrar a interseção correta se eu der valor um valor qualquer para m diferente de zero (e resolvendo a equação) , e o valor zero para m (e substituindo na primeira equação.). Por que isso? Bom, obrigado pela paciencia!

por **LuizAquino** » Seg Mai 28, 2012 20:58

Danilo escreveu:Professor, só para eu entender aqui. Você poderia ter atruíbuido qualquer numero real para m, correto?

Para m não. Para os parâmetros k_1

,

e

.

Danilo escreveu:Só não entendi porque você chamou -2/m na interseção do feixe 1 e na interseção do feixe 3 k3=m/4?

Para determinar o ponto de interseção de um feixe de retas concorrentes, basta determinar a interseção entre duas retas particulares desse eixo. Ou seja, podemos escolher, conforme a nossa vontade e conveniência, duas retas quaisquer desse feixe. Em seguida, basta determinar a interseção entre essas duas retas. Essa interseção irá coincidir com a interseção do feixe. Afinal de contas, todas as retas do feixe possuem um mesmo ponto em comum.

Note que podemos organizar a equação do Feixe 1 no seguinte formato:

(2 + k_1m)x + (3 - 3k_1)y - 8 + 5k_1 = 0

(2 + k_1m)x + (3 - 3k_1)y - 8 + 5k_1 = 0

Você lembra que podemos escolher qualquer duas retas nesse feixe? Vamos então escolher as duas retas mais simples: uma reta "horizontal", que tem equação no formato y = c; uma reta "vertical", que tem equação no formato x = c. Veja que essa escolha é conveniente, já que é bem fácil descobrir o ponto de interseção entre essas retas.

Na reta "horizontal", note que não há o termo x. Portanto, o coeficiente multiplicando esse termo deve ser zero. No caso do Feixe 1, basta fazer 2 + k_1m = 0

, ou seja, $k_1 = -\frac{2}{m}$ .

Já na reta "vertical", note que não há o termo y. Portanto, o coeficiente multiplicando esse termo deve ser zero. No caso do Feixe 1, basta fazer 3 - 3k_1 = 0

, ou seja, k_1 = 1

.

Isso justifica as escolhas que fiz para o parâmetro no caso do Feixe 1.

Já para o Feixe 3, basta seguir o mesmo raciocínio que você perceberá o motivo da escolha $k_3=\frac{m}{4}$ .

Danilo escreveu:Eu chamei k3 = 0, aí eu encontrei o valor 4 para m e substituí e ficou -1/4 m e ficou ficou = 0.

Substituindo k_3 = 0

no Feixe 3, ficamos com a equação mx + my + 1 = 0. Isso é apenas uma das retas do feixe. Precisamos de mais outra para determinar a interseção.

Digamos, por exemplo, que você escolha k_3 = 1

. Nesse caso, ficamos com a equação (m - 4)y = 0. Supondo que m seja diferente de 4, podemos dividir ambos os membros dessa equação por (m - 4), ficando assim com y = 0.

Agora sim temos duas retas do feixe. Podemos então determinar a interseção. E essa interseção é a solução do sistema:

$\begin{cases}mx + my - 1= 0 \\ y = 0 \end{cases}$

Adivinha, qual é a solução desse sistema? Será o mesmo ponto que eu já havia escrito antes: $\left(\frac{1}{m},\,0\right)$ . Aqui obviamente estamos considerando que m é diferente de zero.

Danilo escreveu: Mas se eu deixar -1/m daria certo. Por que eu não posso substituir m?

Não faz sentido "substituir" o valor de m. Lembre-se que m é o valor que você quer descobrir. Ou seja, é o dado desconhecido do exercício.

Danilo escreveu:Estou estudando essa máteria em um livro e não entendi um trecho.. ''É comum apresentar-se a equação de um feixe em função de um só parâmetro (k) em vez de dois (k1 e k2). No exemplo k1(2x-3y) + k2(2x+y-4) = 0 , supondo k1 diferente de zero e dividindo por k1, temos:

(2x-3y) + k2/k1 x (x+3y-9) = 0 e, fazendo k2/k1 = k, resulta:

(2x-3y) +( k) x (x + 3y -9) = 0

Notemos, porém, que esta última equação exclui uma reta do feixe: a reta x + 3y -9 = 0 a k1 = 0" (mesmo sendo absurdo a divisão por zero??????). Bom, esta última reta não está no feixe de retas em hipótese em alguma ? (neste caso)

Primeiro, você escreveu "(2x-3y) +( k) x (x + 3y -9) = 0". Mas eu presumo que você queira dizer: $(2x-3y) +(k) \times (x + 3y -9) = 0$ . Note que são coisas bem distintas! Na forma como você escreveu, teríamos na verdade "2x - 3y + kx² + 3kxy - 9kx = 0", o que não faz sentido. Perceba a importância de usar as notações matemáticas adequadas!

Vamos agora supor que a reta x + 3y - 9 = 0

estivesse nesse feixe que tem apenas um parâmetro. Por outro lado, note que podemos arrumar a equação do feixe como sendo (2 + k)x + (-3 + 3k)y - 9k = 0

. Comparando os coeficientes dessa equação com aquela outra, para que essas retas sejam iguais, deveríamos ter que:

$\begin{cases}2 + k = 1 \\ -3 + 3k = 3 \\ -9k= -9\end{cases}$

Note que esse sistema é impossível, pois cada equação fornece um valor diferente para k. Isso significa que não existe um número k que podemos substituir no feixe (2x-3y) +k(x + 3y -9) = 0

de tal modo a obter a equação x + 3y - 9 = 0

. Ou seja, ela ficou excluída nesse novo feixe que usa apenas um parâmetro.

por **Danilo** » Seg Mai 28, 2012 22:14

Entendi tudo, valeu mesmo !!! Professor, obrigado pela paciência.

por **numberbaby123** » Ter Set 30, 2014 13:33

Mestre eu fiz certinho como o senhor falou, achei os pontos de intersecção tbm, mas o problema é para achar 'm' mesmo...
Não consigo de maneira alguma, já tentei fazer a Determinante colocando os 3 pontos de intersecção nelas e igualando a 0, mas sempre da uma conta enorme eu resolvo ela e da uma equação de terceiro grau... Juro que já tentei de TUDO! Estou errando e pelo visto estou persistindo no mesmo erro que não consigo de maneira alguma achar 'm'. O senhor poderia por a resolução da questão? Desde já agradeço!

por **LuizAquino** » Ter Out 14, 2014 13:43

numberbaby123 escreveu:Mestre eu fiz certinho como o senhor falou, achei os pontos de intersecção tbm, mas o problema é para achar 'm' mesmo...
Não consigo de maneira alguma, já tentei fazer a Determinante colocando os 3 pontos de intersecção nelas e igualando a 0, mas sempre da uma conta enorme eu resolvo ela e da uma equação de terceiro grau... Juro que já tentei de TUDO! Estou errando e pelo visto estou persistindo no mesmo erro que não consigo de maneira alguma achar 'm'. O senhor poderia por a resolução da questão? Desde já agradeço!

Desejamos que os pontos a seguir estejam sobre uma mesma reta: $\left(\frac{3}{2 + m},\,\frac{8m + 10}{3m + 6}\right)$ , (-4, -3) e $\left(-\frac{1}{m},\,0\right)$ .

Desse modo, esses pontos devem atender a equação:

$\begin{vmatrix} \dfrac{3}{2 + m} & \dfrac{8m + 10}{3m + 6} & 1 \\ -4 & -3 & 1 \\ -\dfrac{1}{m} & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$

Desenvolvendo o determinante, obtemos:

$-\dfrac{9}{2 + m} - \dfrac{8m + 10}{m(3m + 6)} - \dfrac{3}{m} + \dfrac{32m + 40}{3m + 6} = 0$

$-\dfrac{9}{2 + m} - \dfrac{8m + 10}{3m(m + 2)} - \dfrac{3}{m} + \dfrac{32m + 40}{3(m + 2)} = 0$

$\dfrac{-9(3m) - (8m + 10) - 3[3(m+2)] + (32m+40)m}{3m(m+2)} = 0$

$\dfrac{32m^2 - 4m - 28}{3m(m+2)} = 0$

Agora tente continuar a partir daí.