[Equação da Reta] Reta que passa por pontos do plano.

por **acorreia** » Qua Mai 02, 2012 17:31

Seja C o conjunto de todos os pontos do plano euclidiano que distam 1 do ponto (x,y)=(2,1) e seja r a reta que passa pelos pontos (3,2) e (8,7).

Determine todos os pontos da reta r que pertencem ao conjunto C.

Gostaria de que me explicasse o desenvolvimento da questão.
Obrigado !

SEM GABARITO.

por **Russman** » Qua Mai 02, 2012 21:25

É conhecido e fácilmente provado/verificado que o lugar geométrico que dista o mesmo de um certo ponto é a circunferência. Assim, os pontos do conjunto C são tais que

$(x,y) \in C \Leftrightarrow {(x-2)}^{2}+{(y-1)}^{2} = 1$ .

Ou ainda, $C = \left \{ (x,y)\in \mathbb{R}/ {(x-2)}^{2}+{(y-1)}^{2} = 1 \right \}$ .

Para resolver este problema temos de calcular qual ,ou quais, pontos da reta r : y= ax+b

, que adimite os pontos (3,2) e (8,7), são também admitidos por C. Isto é, devemos solucionar o sistema

$\left\{\begin{matrix} {(x-2)}^{2}+{(y-1)}^{2} = 1\\ y=ax+b \end{matrix}\right.$

Vamos primeiro identificar a reta r. Para tanto basta calcular a e b tais que

$\left\{\begin{matrix} 2 = 3a + b\\ 7 = 8a + b \end{matrix}\right.$

A solução é a=1

e

.Portanto, r : y(x) = x - 1

.

Assim, o sistema se torna

$\left\{\begin{matrix} {(x-2)}^{2}+{(y-1)}^{2} = 1\\ y=x-1 \end{matrix}\right.$

e é facilmente solucionado substituindo-se y da 1° eq. pela da segunda. Os dois pontos solução são a intersecção entre

e $R = \left \{ (x,y)\in\mathbb{R} / y=x-1 \right \}$ .

$C \cap R = \left \{ (2+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\frac{\sqrt{2}}{2});(2-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1-\frac{\sqrt{2}}{2}) \right \}$ .