produto vetorial ( calculo da area)

[ubelima]

Ola, estou com dificuldade em determinar a area de um triangulo. a questão apresentam um triângulo ABC com seus pontos medios M(0,1,3), N(3,-2,2) e P(1,0,2).

Desenhei o triangulo, relacionei os dados com diversa formulas, mas sem sucesso.

Se alguem puder me orientar, agradeço o apoio.

[Guill]

Primeiramente, sabemos que o triângulo ABC é compostro por três lados, AB, BC e AC. Sabemos também que a área de um triângulo é a metade do produto da base pela altura.

Uma vez que temos os pontos médios dos lados como:

M = (0 ; 1 ; 3) ---> Ponto médio de AB
N = (3 ; -2 ; 2) ---> Ponto médio de AC
P = (1 ; 0 ; 2) ---> Ponto médio de BC


Suponhamos os vetores A, B e C tais que:




Fica claro que:








Resolvendo o sistema por igualdade de vetores, encontraremos todos os valores dos vetores. Depois disso, basta calcular o comprimento de cada um dos lados desse triângulo e usar a relação:



Onde p é o semiperímetro e a, b e c são os lados do triâgulo.