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por **Clovis Eduardo** » Dom Dez 11, 2011 18:12

Se A, B, C são vértices de um triângulo equilátero de lado unitário, calcule:
AB.BC + BC.CA + CA.AB

Bom a questao é essa... fiz o produto escalar entre os vertices...
e ficou uma resposta enorme..
provavelmente deve estar errada.

Obrigado

por **LuizAquino** » Seg Dez 12, 2011 18:02

Clovis Eduardo escreveu:Se A, B, C são vértices de um triângulo equilátero de lado unitário, calcule:
AB.BC + BC.CA + CA.AB

Vide a figura abaixo.

: figura.png (3.29 KiB) Exibido 2526 vezes

Note que:

$\vec{CA} = -\left(\vec{AB}+\vec{BC}\right)$

Sendo assim, temos que:

$\vec{AB}\cdot \vec{BC} + \vec{BC}\cdot \vec{CA} + \vec{CA}\cdot \vec{AB} =$ $\vec{AB}\cdot \vec{BC} + \vec{BC}\cdot \left[-\left(\vec{AB}+\vec{BC}\right)\right] + \left[-\left(\vec{AB}+\vec{BC}\right)\right]\cdot \vec{AB}$

Agora tente terminar o exercício.

Dicas

Lembre-se das propriedades:

(i) $\vec{u}\cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ ;

(ii) $\vec{u}\cdot \left(k\vec{v}\right) = k\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)$ ;

(iii) $\vec{u}\cdot \left(\vec{v} + \vec{w}\right) = \vec{u}\cdot \vec{v} + \vec{u}\cdot \vec{w}$ ;

(iv) $\vec{u}\cdot \vec{u} = \left\Vert\vec{u}\right\Vert^2$ .

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