Vetores - Paralelogramo

por **Claudin** » Ter Out 18, 2011 21:44

Verifique se é um paralelogramo o quadrilátero de vértices (não necessariamente consecutivos).
a) A= (4, -1, 1) ; B= (9, -4, 2) ; C= (4, 3, 4) ; D= (4, -21, -14)

RESOLUÇÃO

AB = (5, -3, 1)
AC = (0, 4, 3)
AD= (0, -20, -15)

Não consegui compreender o porque da resposta correta, dizer que não é um paralelogramo, baseado em qual fundamento?

b) a) A= (4, -1, 1) ; B= (9, -4, 2) ; C= (4, 3, 4) ; D= (9, 0, 5)

RESOLUÇÃO

AB = (5, -3, 1)
AC = (0, 4, 3)
AD= (5, 1, 4)

Não consegui compreender o porque da resposta correta, dizer que é um paralelogramo, baseado em qual fundamento?

OBS:Devido a essa dúvida quero que seja reforçado o conceito de o que é preciso para ser um paralelogramo. Não seria dois lados paralelos e iguais?

por **LuizAquino** » Sáb Out 22, 2011 21:31

Definição

Um paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.

Note que como consequência dessa definição, temos que os lados opostos de um paralelogramo possuem a mesma medida.

Considere então que sejam dados os vértices A, B, C e D de um quadrilátero. Para que eles formem (nesta ordem) um paralelogramo, devem ocorrer as duas condições:

(i) $\vec{AB}$ é paralelo a $\vec{CD}$ ;

(ii) $\vec{BC}$ é paralelo a $\vec{DA}$ .

No caso do exercício foram fornecidos os quatro vértices de um quadrilátero, mas não necessariamente consecutivos. Desse modo, para testar se eles formam ou não um paralelogramo, comece testando as condições (i) e (ii). Os possíveis resultados estão dispostos na tabela verdade abaixo.

$\begin{array}{c|c|c} \vec{AB} // \vec{CD} & \vec{BC} // \vec{DA} & \textrm{Conclus\~ao} \\ \hline V & V & \textrm{\'E paralelogramo.} \\ \hline V & F & \textrm{Resultado inconclusivo.} \\ \hline F & V & \textrm{Resultado inconclusivo.} \\ \hline F & F & \textrm{N\~ao \'e paralelogramo.} \\ \end{array}$

Como você pode ver na tabela, o problema é quando ocorre V e F (ou o contrário, F e V). Nesses casos, apenas testar (i) e (ii) não é conclusivo. Vejamos então como proceder.

Caso ocorra V e F, teste se $\vec{BD}$ é paralelo a $\vec{CA}$ . Se esse teste resultar em V, então os vértices são de um paralelogramo. Caso contrário, não são.

Caso ocorra F e V, teste se $\vec{AC}$ é paralelo a $\vec{BD}$ . Se esse teste resultar em V, então os vértices são de um paralelogramo. Caso contrário, não são.

Agora tente aplicar essas ideias no exercício.

Observação

Talvez você esteja se perguntando: "mas por que os casos V e F (ou F e V) são inconclusivos?"

Para o caso V e F, veja a figura abaixo.

: caso-V-e-F.png (3.52 KiB) Exibido 9634 vezes

Note que A, B, C e D são os vértices de um paralelogramo. Entretanto, $\vec{AB}$ é paralelo a $\vec{CD}$ enquanto que $\vec{BC}$ não é paralelo a $\vec{DA}$ .

Já para o caso F e V, veja a figura abaixo.

: caso-F-e-V.png (2.95 KiB) Exibido 9634 vezes

Novamente note que A, B, C e D são os vértices de um paralelogramo. Entretanto, $\vec{AB}$ não é paralelo a $\vec{CD}$ enquanto que $\vec{BC}$ é paralelo a $\vec{DA}$ .

por **Claudin** » Dom Out 23, 2011 19:29

Obrigado Luiz Aquino.

Consegui provar o paralelismo dos vetores através de múltiplos escalares.

- Mas outra pergunta seria, o modo ao qual posso esboçar o paralelogramo não depende do modo que eu desenhe? Irá dar o mesmo resultado, pois não é necessariamente consecutivos, ou seja, se fosse com lados consecutivos como seria o esboço correto?

por **LuizAquino** » Seg Out 24, 2011 11:22

Claudin escreveu:o modo ao qual posso esboçar o paralelogramo não depende do modo que eu desenhe?

Considere quatro pontos genéricos A, B, C e D. Considere ainda que seja informado que eles são os vértices de um paralelogramo, mas não necessariamente consecutivos. Entretanto, nenhuma outra informação foi fornecida.

Nesse contexto, é óbvio que há infinitos esboços possíveis para esse paralelogramo. Afinal de contas, não foi fornecida nenhuma outra informação que identifique unicamente esse paralelogramo.

Por outro lado, considere que os pontos A, B, C e D foram identificados. Por exemplo, imagine que eles sejam A=(1, 1), B=(5,3), C=(2, 3) e D = (4, 1). Fixado o sistema de eixos, só haverá um esboço para esse paralelogramo. Ele será como ilustra a figura abaixo.

: paralelogramo.png (7.7 KiB) Exibido 9624 vezes

Claudin escreveu:se fosse com lados consecutivos como seria o esboço correto?

Considere que seja informado que os pontos A, B, C e D são vértices (e não "lados" como você disse) consecutivos de um paralelogramo. Se nenhuma outra informação for fornecida, então novamente teremos infinitos esboços. Entretanto, haverá algo em comum nesses esboços: os vértices estão na "ordem" A, B, C e D.

Por exemplo, duas possibilidades seriam como ilustra a figura abaixo.

: paralelogramo-exemplos.png (7.13 KiB) Exibido 9624 vezes

No exemplo da esquerda, considerando o sentido anti-horário a partir de A, temos a sequência de vértices: $A\to B\to C \to D$ .

Já no exemplo da direita, considerando o sentido horário a partir de A, também temos a sequência de vértices: $A\to B\to C \to D$ .

Em ambos os exemplos, dizemos que A, B, C e D (nesta ordem) são vértices "consecutivos" do paralelogramo.

por **Claudin** » Seg Out 24, 2011 21:15

Correto, então quando for não consecutivo tem que testar AB, AC, AD, BC, CD
e quando for consecutivo?
Essa matéria é muito abstrata e difícil de compreender o pensamento dos outros

por **LuizAquino** » Ter Out 25, 2011 15:59

Claudin escreveu:Correto, então quando for não consecutivo tem que testar AB, AC, AD, BC, CD
e quando for consecutivo?

O processo é o mesmo. Basta seguir o que expliquei sobre as condições (i) e (ii).

por **Claudin** » Ter Out 25, 2011 18:55

Correto.
Tenho q analisar se AB é paralelo a CD, e se AC é paralelo a BD, caso seja consecutivo. E só isto basta?

Acho que não compreendi sua explicação ainda, determinar qual é paralelo com qual eu sei, e depois o que fazer

por **LuizAquino** » Ter Out 25, 2011 19:45

Claudin escreveu:Acho que não compreendi sua explicação ainda, determinar qual é paralelo com qual eu sei, e depois o que fazer

Considere que sejam dados os vértices A, B, C e D de um quadrilátero (não importando se são ou não consecutivos). Para testar se eles formam um paralelogramo, então siga os passos que já expliquei:

Teste as condições:
(i) $\vec{AB}$ é paralelo a $\vec{CD}$ ;
(ii) $\vec{BC}$ é paralelo a $\vec{DA}$ ;
Se (i) e (ii) forem verdadeiras, então os vértices são de um paralelogramo;
Se (i) é verdadeira e (ii) é falsa, então verifique se $\vec{BD}$ é paralelo a $\vec{CA}$ . Se eles forem paralelos, então os vértices são de um paralelogramo. Caso contrário, não são;
Se (i) é falsa e (ii) é verdadeira, então verifique se $\vec{AC}$ é paralelo a $\vec{BD}$ . Se eles forem paralelos, então os vértices são de um paralelogramo. Caso contrário, não são;
Se (i) e (ii) forem falsas, então os vértices não são de um paralelogramo.

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