[Geometria Analítica] Vértices do tetraedro

por **-civil-** » Qua Ago 17, 2011 22:38

Boulos - 3a. ed.

18 - 30) O plano $\pi$ contém r : x - y = x + z - 1 = 0 e determina, com os planos coordenados, um tetraedro de volume $\frac{1}{12}$ . Supondo que estamos num sistema ortogonal, obtenha os vértices de tetraedro e uma equação geral de $\pi$ .

Volume do tetraedro = $\frac{1}{12}$

Consideramos que A está no eixo x, B está no eixo y e C está no eixo z.
A = (x,0,0), B = (0,y,0), C = (0,0,z)
Percebemos que C $\in$ r, então C = (0,0,1)

$\frac{1}{6}[\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}]$ = $\frac{1}{12}$

$[\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}]$ = $\frac{1}{2}$

$\begin{displaymath} \mathbf{} \left( \begin{array}{ccc} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \end{displaymath}$ = 0
(Na verdade isso é um determinante, só que eu não sei como colocar em Latex)

|xy| = $\frac{1}{2}$

Como r $\in \pi$ , então { $[\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{r}]$ } é LI

$\overrightarrow{CA}$ = (x, 0, -1), $\overrightarrow{CB}$ = (0, y, -1), $\overrightarrow{r}$ = (1, 1, -1)

$\begin{displaymath} \mathbf{} \left( \begin{array}{ccc} x & 0 & -1 \\ 0 & y & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{array} \right) \end{displaymath}$ = 0

-xy + x + y = 0
Como |xy| = $\pm \frac{1}{2}$
$\pm \frac{1}{2}$ + x + y = 0
x + y = $\pm \frac{1}{2}$

Para x + y = $\frac{1}{2}$ e $x = \frac{1}{2y}$
Sistema impossível

Para x + y = $\frac{1}{2}$ e $x = \frac{-1}{2y}$

y' = 1, x' = $\frac{-1}{2}$
y" = $\frac{-1}{2}$ , x" = -1

Para x + y = $\frac{-1}{2}$ e $x = \frac{1}{2y}$
Sistema impossível

Para x + y = $\frac{-1}{2}$ e $x = \frac{-1}{2y}$
y' = -1, x' = $\frac{1}{2}$
y" = $\frac{1}{2}$ , x" = 1

Sem procurar ainda a equação da reta, eu encontrei quatro soluções diferentes. Mas há apenas duas soluções corretas do exercício:

y' = -1, x' = $\frac{1}{2}$
y" = $\frac{1}{2}$ , x" = 1

Por que as outras duas estão erradas?

por **LuizAquino** » Qua Ago 17, 2011 23:17

-civil- escreveu:Por que as outras duas estão erradas?

Você está fazendo quatro casos, quando na verdade só há dois.

Da equação |xy| = 1/2, temos dois casos:
(i) xy = 1/2
(ii) xy = -1/2

Quando o caso (i) acontecer, a equação |xy| + x + y = 0 é a mesma que x + y = -1/2.

Por outro lado, quando o caso (ii) acontecer, a equação |xy| + x + y = 0 é a mesma que x + y = 1/2.

-civil- escreveu: $\begin{displaymath} \mathbf{} \left( \begin{array}{ccc} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \end{displaymath} = 0$
(Na verdade isso é um determinante, só que eu não sei como colocar em Latex)