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Diferença entre os produto escalar.

Diferença entre os produto escalar.

Mensagempor 380625 » Seg Ago 15, 2011 19:43

Por que quando vamos estudar produtos escalares e é considerado um sistema de coordenadas a formula esta sem o cos teta. . No livro do Boulos ele friza bem que se os vetores pertencem a uma base ortonormal o produto escalar é dado por u*v= x1y1 + x2y2 + x3y3

E pq na outra formula tem a informação que o produto escalar so depende do comprimento dos vetores e dos angulos entre eles. u*v= ||u|| . ||v|| cos teta.

O que acontece nesse caso.

Grato
Flávio Santana.
380625
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Re: Diferença entre os produto escalar.

Mensagempor LuizAquino » Seg Ago 15, 2011 21:32

380625 escreveu:Por que quando vamos estudar produtos escalares e é considerado um sistema de coordenadas a formula esta sem o cos teta. . No livro do Boulos ele friza bem que se os vetores pertencem a uma base ortonormal o produto escalar é dado por u*v= x1y1 + x2y2 + x3y3

E pq na outra formula tem a informação que o produto escalar so depende do comprimento dos vetores e dos angulos entre eles. u*v= ||u|| . ||v|| cos teta.


Vamos estudar com atenção o que está escrito no livro de Boulos (Geometria Analítica - um tratamento vetorial).

Ele primeiro define o que vem a ser ângulo entre vetores. Em seguida, ele quer determinar uma fórmula para calcular esse ângulo.

Ele toma então os vetores não nulos \vec{u}=(x_1,\,y_1,\,z_1) e \vec{v}=(x_2,\,y_2,\,z_2) escritos em uma base ortonormal. A escolha da base ortonormal é importante, pois facilita o cálculo do módulo dos vetores.

Aplicando a Lei dos Cossenos , ele obtém a seguinte equação:

||\vec{u}||\,||\vec{v}||\cos \theta = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2

Com essa equação ele obteve uma maneira de calcular o cosseno do ângulo entre os vetores. Basta dividir toda a equação por ||\vec{u}||\,||\vec{v}|| (o que poderá ser feito pois os vetores não são nulos):
\cos \theta = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{||\vec{u}||\,||\vec{v}||}

A partir de agora ele decide definir uma nova operação entre vetores, chamada de produto escalar:

\vec{u}\cdot \vec{v}
=
\begin{cases}
0\textrm{, se } \vec{u} = \vec{0}  \textrm{ ou } \vec{v} = \vec{0} \\
||\vec{u}||\,||\vec{v}||\cos \theta \textrm{, se } \vec{u} \neq \vec{0}  \textrm{ e } \vec{v} \neq \vec{0} \\
\end{cases}

Acontece que com essa definição escolhida por ele, considerando a equação anterior obtida através da Lei dos Cossenos, o produto escalar também pode ser escrito como:
\vec{u}\cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2

Entretanto, o produto escalar só pode ser escrito dessa forma caso a base escolhida seja ortonormal. Caso contrário, a equação obtida através da Lei dos Cossenos seria outra e portanto a fórmula para o produto escalar também mudaria.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}